《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 圆的定义及圆的方程
　　　　平面上到____定点____的距离等于
　定义　____定长____的点的集合叫做圆
　　　标$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
　　　准方（$r＞0$）　　　圆心$C$____$(a,b)$____
　　　程　　　　　　　半径为____$r$____
　一方般程$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$（$D^2 + E^2 - 4F＞0$）　圆心$C$____$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$____　　　　半径$r =$____$\frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$____
　注意:方程$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，当$D^2 + E^2 - 4F＞0$时，表示圆心为$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$，半径$r=\frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$的圆；当$D^2 + E^2 - 4F = 0$时，表示一个点$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$；当$D^2 + E^2 - 4F＜0$时，不表示任何图形。

答案： 定点 定长 $(a,b)$ $r$ $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$ $\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}$

2. 点与圆的位置关系
　平面上的一点$M(x_0,y_0)$与圆$C:(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$或$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$之间存在着下列关系:
|位置关系|几何法|代数法（标准方程）|代数法（一般方程）|
|--|--|--|--|
|点在圆上|$|MC| = r$|$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2$|$x_0^2 + y_0^2 + Dx_0 + Ey_0 + F = 0$|
|点在圆外|$|MC|＞r$|$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2＞r^2$|$x_0^2 + y_0^2 + Dx_0 + Ey_0 + F＞0$|
|点在圆内|$|MC|＜r$|$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2＜r^2$|$x_0^2 + y_0^2 + Dx_0 + Ey_0 + F＜0$|

答案：

1. 确定圆的方程时，常用到的圆的两个性质
　(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
　(2)圆心在任一弦的中垂线上.

答案：

2. 以$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$为直径端点的圆的方程为$(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$.

答案：

1. 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
　(1)圆$x^2 + y^2 = a^2$的半径为$a$.　　　　　(　　　)
　(2)方程$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$表示圆的充要条件是$A = C\neq0$，$B = 0$，$D^2 + E^2 - 4AF＞0$.　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　(3)若点$M(x_0,y_0)$在圆$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$外，则$x_0^2 + y_0^2 + Dx_0 + Ey_0 + F＞0$.　(　　　)

答案： 1.
(1)×
(2)√
(3)√