《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例2　　(1)(2022·全国乙卷)已知向量$a=(2,1)$，$b = (- 2,4)$，则$|a - b|=$（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
（2）（2023·新课标Ⅱ卷）已知向量a,b满足$|a - b|=\sqrt{3}$，$|a + b| = |2a - b|$，则$|b|=$ ________.
[课堂笔记]
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答案：
(1)D [因为$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(2,1)-(-2,4)=(4,-3)$，所以$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}} = 5$. 故选D.]
(2)答案 $\sqrt{3}$
解析　解法一：因为$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$，即$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}=(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}$，则$\boldsymbol{a}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=4\boldsymbol{a}^{2}-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}$，整理得$\boldsymbol{a}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，又因为$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$，即$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}=3$，则$\boldsymbol{a}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=\boldsymbol{b}^{2}=3$，所以$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$.
解法二：设$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$，则$|\boldsymbol{c}|=\sqrt{3}$，$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}+2\boldsymbol{b}$，$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}$，由题意可得，$(\boldsymbol{c}+2\boldsymbol{b})^{2}=(2\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b})^{2}$，则$\boldsymbol{c}^{2}+4\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}+4\boldsymbol{b}^{2}=4\boldsymbol{c}^{2}+4\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}$，整理得$\boldsymbol{c}^{2}=\boldsymbol{b}^{2}$，即$|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|=\sqrt{3}$.

【巩固迁移】
3.（2024·山东兖州阶段考试）如图,在△ABC中,M为BC的中点，若$AB = 1$，$AC = 3$，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为60°，则$|\overrightarrow{MA}|=$ ________.

答案： 答案 $\frac{\sqrt{13}}{2}$
解析　因为$M$为$BC$的中点，所以$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，所以$|\overrightarrow{MA}|^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})^{2}=\frac{1}{4}(|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{AC}|^{2}+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})=\frac{1}{4}\times(1 + 9+2\times1\times3\cos60^{\circ})=\frac{13}{4}$，所以$|\overrightarrow{MA}|=\frac{\sqrt{13}}{2}$.

例3　　(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量$a=(3,4)$，$b=(1,0)$，$c = a + tb$，若$\langle a,c\rangle=\langle b,c\rangle$，则$t =$（ ）
A. - 6 B. - 5 C. 5 D. 6
[课堂笔记]
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答案： C [$\boldsymbol{c}=(3 + t,4)$，$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\cos\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$，即$\frac{9 + 3t+16}{5|\boldsymbol{c}|}=\frac{3 + t}{|\boldsymbol{c}|}$，解得$t = 5$. 故选C.]

【巩固迁移】
4.（2024·湖南岳阳阶段考试）已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足$2\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}$，设向量$\overrightarrow{AE}$与$\overrightarrow{BD}$的夹角为θ，则$\cos\theta=$ ________.

答案：
答案 $-\frac{\sqrt{10}}{10}$
解析　解法一：因为$2\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}$，所以$E$为$BC$的中点. 设正方形的边长为2，则$|\overrightarrow{AE}|=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{BD}|=2\sqrt{2}$，$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AD}|^{2}-|\overrightarrow{AB}|^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\times2^{2}-2^{2}=-2$，所以$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{BD}|}=\frac{-2}{\sqrt{5}\times2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$.
解法二：因为$2\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}$，所以$E$为$BC$的中点. 设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系$xAy$，则$A(0,0)$，$B(2,0)$，$D(0,2)$，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $E(2,1)$，所以$\overrightarrow{AE}=(2,1)$，$\overrightarrow{BD}=(-2,2)$，所以$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BD}=2\times(-2)+1\times2=-2$，故$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{BD}|}=\frac{-2}{\sqrt{5}\times2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$.

例4　　(1)(2024·福建福州开学考试)下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（ ）
A. (- 4,6) B. (2,3) C. (3,- 2) D. (- 3,2)

答案：
(1)A [对于A，$\because(3,2)\cdot(-4,6)=-12 + 12 = 0$，$\therefore A$符合题意；对于B，$\because(3,2)\cdot(2,3)=6 + 6 = 12\neq0$，$\therefore B$不符合题意；对于C，$\because(3,2)\cdot(3,-2)=9 - 4 = 5\neq0$，$\therefore C$不符合题意；对于D，$\because(3,2)\cdot(-3,2)=-9 + 4=-5\neq0$，$\therefore D$不符合题意.]

（2）已知向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为120°，且$|\overrightarrow{AB}| = 3$，$|\overrightarrow{AC}| = 2$.若$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{BC}$，则实数$\lambda=$ ________.
[课堂笔记]
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答案：
(2)答案 $\frac{7}{12}$
解析　因为$\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BC}=0$. 又$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BC}=(\lambda\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=0$，即$(\lambda - 1)\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}-\lambda\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AC}^{2}=0$，所以$(\lambda - 1)\times3\times2\times(-\frac{1}{2})-9\lambda + 4 = 0$，解得$\lambda=\frac{7}{12}$.

【巩固迁移】
5.（2023·河南安阳模拟预测）在△ABC中，点D在边AC上，且$\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{DC}$，$|\overrightarrow{BA}|=\lambda|\overrightarrow{BC}|$，若$\overrightarrow{BD}\perp(3\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA})$，则$\lambda=$（ ）
A. $\frac{4}{3}$ B. 3 C. 2 D. 1

答案：
B [由题意知，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+\frac{3}{4}(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA})=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}$，
　　　　　　　　　　　　　　　　 则$\overrightarrow{BD}\cdot(3\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA})=(\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BA})\cdot(3\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA})=\frac{9}{4}\overrightarrow{BC}^{2}-\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}^{2}=0$，即$9|\overrightarrow{BC}|^{2}=|\overrightarrow{BA}|^{2}$，则$|\overrightarrow{BA}| = 3|\overrightarrow{BC}|$，即$\lambda = 3$. 故选B.]

例5　　(1)已知$e_1$，$e_2$是两个单位向量，且夹角为$\frac{\pi}{3}$，则$e_1 + te_2$与$te_1 + e_2$的数量积的最小值为（ ）
A. $-\frac{3}{2}$ B. $-\frac{\sqrt{3}}{6}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案：
(1)A [由题意得，$(\boldsymbol{e}_{1}+t\boldsymbol{e}_{2})\cdot(t\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2})=t\boldsymbol{e}_{1}^{2}+(t^{2}+1)\boldsymbol{e}_{1}\cdot\boldsymbol{e}_{2}+t\boldsymbol{e}_{2}^{2}=t|\boldsymbol{e}_{1}|^{2}+(t^{2}+1)|\boldsymbol{e}_{1}||\boldsymbol{e}_{2}|\cos\frac{\pi}{3}+t|\boldsymbol{e}_{2}|^{2}=\frac{1}{2}t^{2}+2t+\frac{1}{2}$，$\therefore$当$t=-2$时，取得最小值，为$\frac{1}{2}\times4 - 4+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$. 故选A.]

（2）（2022·天津高考）在△ABC中，$\overrightarrow{CA}=a$，$\overrightarrow{CB}=b$，D是AC的中点，$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{BE}$，试用a,b表示$\overrightarrow{DE}$为________，若$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{DE}$，则∠ACB的最大值为________.
[课堂笔记]
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答案：

(2)答案 $\frac{3}{2}\boldsymbol{b}-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}$ $\frac{\pi}{6}$
解析　$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}\boldsymbol{b}-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$.
解法一：$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{DE}\Rightarrow(\frac{3}{2}\boldsymbol{b}-\frac{1}{2}\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})=0$，$3\boldsymbol{b}^{2}+\boldsymbol{a}^{2}=4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\Rightarrow\cos\angle ACB=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{3\boldsymbol{b}^{2}+\boldsymbol{a}^{2}}{4|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}\geqslant\frac{2\sqrt{3}|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}{4|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，当且仅当$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{3}|\boldsymbol{b}|$时取等号，而$0\lt\angle ACB\lt\pi$，所以$\angle ACB\in(0,\frac{\pi}{6}]$.

解法二：如图所示，建立平面直角坐标系.
设$|\overrightarrow{BE}| = 1$，$A(x,y)$，则$E(0,0)$，$B(1,0)$，$C(3,0)$，所以$\overrightarrow{DE}=(-\frac{x + 3}{2},-\frac{y}{2})$，
$\overrightarrow{AB}=(1 - x,-y)$，$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{DE}\Rightarrow\frac{x + 3}{2}(x - 1)+\frac{y^{2}}{2}=0\Rightarrow(x + 1)^{2}+y^{2}=4$，所以点$A$的轨迹是以$M(-1,0)$为圆心，$r = 2$为半径的圆，当且仅当$CA$与$\odot M$相切时，$\angle ACB$最大，此时$\sin\angle ACB=\frac{r}{CM}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\angle ACB=\frac{\pi}{6}$.