《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例3　　已知函数f(x)=$\sqrt{2}$sin x，函数g(x)的图象可以由函数f(x)的图象先向右平移$\frac{\pi}{4}$个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的$\frac{1}{\omega}$(ω＞0)得到，若直线x = $\frac{\pi}{8}$是函数g(x)图象的一条对称轴，则ω的最小值为（ ）
A. 3
B. 6
C. 9
D. 15
[课堂笔记]
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名师点拨　若已知函数的对称性，可将对称轴(对称中心横坐标)代入，建立等量关系，再根据三角函数的对称性研究其周期性，进而可以求得ω的取值.

答案： 例3 B [由题意知$g(x)=\sqrt{2}\sin(\omega x-\frac{\pi}{4})$，因为直线$x = \frac{\pi}{8}$是函数$g(x)$图象的一条对称轴，则$\frac{\pi}{8}\omega-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，所以$\omega = 6 + 8k$，$k\in\mathbf{Z}$，又$\omega＞0$，所以$\omega$的最小值为6.]

3.已知函数f(x)=3tan($\frac{\omega x}{2}$ + $\frac{\pi}{3}$)(ω＞0)图象的两个相邻对称中心之间的距离为$\frac{\pi}{4}$，则ω =（ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16

答案： 对点训练
3.B [设$f(x)$的最小正周期为$T$，由函数$f(x)=3\tan(\frac{\omega x}{2}+\frac{\pi}{3})(\omega＞0)$图象的两个相邻对称中心之间的距离为$\frac{\pi}{4}$，知$\frac{T}{2}=\frac{\pi}{4}$，$T=\frac{\pi}{2}$，又$T=\frac{\pi}{\frac{\omega}{2}}$，所以$\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{\omega}$，则$\omega = 4$. 故选B.]

例4　　已知函数f(x)=2sin(ωx + $\frac{\pi}{6}$)(ω＞0)在(-$\frac{\pi}{4}$,$\frac{\pi}{3}$)上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围为（ ）
A. [$\frac{8}{3}$,7)
B. ($\frac{8}{3}$,4]
C. [4,$\frac{20}{3}$)
D. ($\frac{20}{3}$,7)
[课堂笔记]
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名师点拨　若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.

答案： 例4 B [因为$f(x)$在$(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3})$上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以$\frac{\pi}{3}-(-\frac{\pi}{4})＞\frac{T}{2}$，所以$\omega＞\frac{12}{7}$. 令$t=\omega x+\frac{\pi}{6}$，当$x\in(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3})$时，$t\in(-\frac{\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\omega+\frac{\pi}{6})$，于是$f(x)=2\sin(\omega x+\frac{\pi}{6})$在$(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3})$上的最值点个数等价于$g(t)=2\sin t$在$(-\frac{\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\omega+\frac{\pi}{6})$上的最值点个数. 由$\omega＞\frac{12}{7}$知，$-\frac{\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{6}＜0$，$\frac{\pi}{3}\omega+\frac{\pi}{6}＞0$，因为$g(t)$在$(-\frac{\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\omega+\frac{\pi}{6})$上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以$\begin{cases}-\frac{3\pi}{2}\leq-\frac{\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{6}＜-\frac{\pi}{2}\\\frac{\pi}{2}＜\frac{\pi}{3}\omega+\frac{\pi}{6}\leq\frac{3\pi}{2}\end{cases}$，解得$\frac{8}{3}＜\omega\leq4$. 故选B.]

4.若函数f(x)=sin(ωx + $\frac{\pi}{6}$)(ω＞0)在($\frac{\pi}{2}$,π)上单调，且在(0,$\frac{\pi}{3}$)存在极值点，则ω的取值范围为________.

答案： 对点训练
4.答案 $(1,\frac{4}{3}]$
解析 因为函数$f(x)$在$(0,\frac{\pi}{3})$存在极值点，所以$\frac{\pi}{3}\omega+\frac{\pi}{6}＞\frac{\pi}{2}$，即$\omega＞1$，当$x\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，$\omega x+\frac{\pi}{6}\in(\frac{\omega\pi}{2}+\frac{\pi}{6},\omega\pi+\frac{\pi}{6})$，又$f(x)$在$(\frac{\pi}{2},\pi)$上单调，所以$(\frac{\omega\pi}{2}+\frac{\pi}{6},\omega\pi+\frac{\pi}{6})\subseteq(\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{3\pi}{2}+k\pi)(k\in\mathbf{N})$，即$\begin{cases}\frac{\omega\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\geq\frac{\pi}{2}+k\pi\\\omega\pi+\frac{\pi}{6}\leq\frac{3\pi}{2}+k\pi\end{cases}$，解得$\frac{2}{3}+2k\leq\omega\leq\frac{4}{3}+k$，只能取$k = 0$，即$\frac{2}{3}\leq\omega\leq\frac{4}{3}$. 综上可知，$1＜\omega\leq\frac{4}{3}$，即$\omega$的取值范围为$(1,\frac{4}{3}]$.

例5　　（2024·山西大同统考）已知函数f(x)=2cos(ωx + φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为T，若f(T)=$\sqrt{3}$，且f(x)在区间[0,1]上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ）
A. ($\frac{17\pi}{6}$,$\frac{23\pi}{6}$]
B. [$\frac{17\pi}{6}$,$\frac{23\pi}{6}$)
C. ($\frac{7\pi}{3}$,$\frac{10\pi}{3}$]
D. [$\frac{7\pi}{3}$,$\frac{10\pi}{3}$)
[课堂笔记]
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名师点拨　将函数零点转化成函数与x轴的交点问题，结合图形得出ωx + φ的范围即可求解.

答案：
例5 D [由题意$f(x)=2\cos(\omega x+\varphi)(\omega＞0,0＜\varphi＜\pi)$的最小正周期为$T$，则$T=\frac{2\pi}{\omega}$，又$f(T)=\sqrt{3}$，可得$\cos(\omega\cdot\frac{2\pi}{\omega}+\varphi)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又$0＜\varphi＜\pi$，所以$\varphi=\frac{\pi}{6}$，$f(x)=2\cos(\omega x+\frac{\pi}{6})$在区间$[0,1]$上恰有3个零点，当$x\in[0,1]$时，$\omega x+\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6},\omega+\frac{\pi}{6}]$，结合函数$y = \cos x$的图象如图所示，

则$y = \cos x$在原点右侧的零点依次为$\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\frac{7\pi}{2},\cdots$，所以$\frac{5\pi}{2}\leq\omega+\frac{\pi}{6}＜\frac{7\pi}{2}$，解得$\frac{7\pi}{3}\leq\omega＜\frac{10\pi}{3}$，即$\omega$的取值范围为$[\frac{7\pi}{3},\frac{10\pi}{3})$. 故选D.]