《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1.(多选)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线. 据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A. $a = 3$
B. 注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C. 注射该药物$\frac{1}{8}$小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克
D. 注射一次治疗该病的有效时间长度为$5\frac{31}{32}$小时

答案： ACD 

例2　　(1)某社区超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为$y = -\frac{x^{2}}{25}+12x - 210$，那么该商品的日利润最大时，当日售价为　　　　　　(　　　)
A. 100元　B. 150元　C. 200元　D. 250元

答案：
(1)B [因为$y = -\frac{x^{2}}{25}+12x - 210 = -\frac{1}{25}(x - 150)^{2}+690，$所以当x = 150时，y取最大值. 故选B.]
(2)A [由题意，得$P(8)=\frac{e^{-0.9680 + 8k}}{1 + e^{-0.9680 + 8k}}=50\%=\frac{1}{2}，$整理，得$e^{-0.9680 + 8k}=1，$即 - 0.9680 + 8k = 0，解得k = 0.121，所以$P(x)=\frac{e^{-0.9680 + 0.121x}}{1 + e^{-0.9680 + 0.121x}}. $令$P(x)=\frac{e^{-0.9680 + 0.121x}}{1 + e^{-0.9680 + 0.121x}}=40\%=\frac{2}{5}，$得$5e^{-0.9680 + 0.121x}=2(1 + e^{-0.9680 + 0.121x})，$整理，得$e^{-0.9680 + 0.121x}=\frac{2}{3}，$两边取自然对数，得$ - 0.9680 + 0.121x = \ln\frac{2}{3}，$解得$x=\frac{\ln2-\ln3 + 0.9680}{0.121}\approx4.65. $故选A.]

(2)(2024·福建福州高三质量检测)为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务. 根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于贷款人的年收入x(单位：万元)的Logistic模型：$P(x)=\frac{e^{-0.9680 + kx}}{1 + e^{-0.9680 + kx}}$，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%. 若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为(精确到0.01万元，参考数据：$\ln 3\approx1.0986$，$\ln 2\approx0.6931$)　　　　　　　　　(　　　)
A. 4.65万元　　　　　B. 5.63万元
C. 6.40万元　　　　　D. 10.00万元
[课堂笔记]　　______________________________
[通性通法]
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

答案：
(2)A [由题意，得$P(8)=\frac{e^{-0.9680 + 8k}}{1 + e^{-0.9680 + 8k}}=50\%=\frac{1}{2}，$整理，得$e^{-0.9680 + 8k}=1，$即 - 0.9680 + 8k = 0，解得k = 0.121，所以$P(x)=\frac{e^{-0.9680 + 0.121x}}{1 + e^{-0.9680 + 0.121x}}. $令$P(x)=\frac{e^{-0.9680 + 0.121x}}{1 + e^{-0.9680 + 0.121x}}=40\%=\frac{2}{5}，$得$5e^{-0.9680 + 0.121x}=2(1 + e^{-0.9680 + 0.121x})，$整理，得$e^{-0.9680 + 0.121x}=\frac{2}{3}，$两边取自然对数，得$ - 0.9680 + 0.121x = \ln\frac{2}{3}，$解得$x=\frac{\ln2-\ln3 + 0.9680}{0.121}\approx4.65. $故选A.]

2.(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量声音的强弱，定义声压级$L_{p}=20\times\lg\frac{p}{p_{0}}$，其中常数$p_{0}(p_{0}＞0)$是听觉下限阈值，p是实际声压. 下表为不同声源的声压级：

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为$p_{1}$，$p_{2}$，$p_{3}$，则　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $p_{1}\geqslant p_{2}$　　　　　　
　B. $p_{2}＞10p_{3}$
C. $p_{3}=100p_{0}$　　　　
　D. $p_{1}\leqslant100p_{2}$

答案： ACD [解法一：由题意可知，$L_{p_{1}}\in[60，$90]，$L_{p_{2}}\in[50，$60]，$L_{p_{3}} = 40，$对于A，$L_{p_{1}}-L_{p_{2}} = 20\times\lg\frac{p_{1}}{p_{0}}-20\times\lg\frac{p_{2}}{p_{0}} = 20\times\lg\frac{p_{1}}{p_{2}}，$因为$L_{p_{1}}\geqslant L_{p_{2}}，$则$L_{p_{1}}-L_{p_{2}} = 20\times\lg\frac{p_{1}}{p_{2}}\geqslant0，$即$\lg\frac{p_{1}}{p_{2}}\geqslant0，$所以$\frac{p_{1}}{p_{2}}\geqslant1$且$p_{1}，$$p_{2}＞0，$可得$p_{1}\geqslant p_{2}，$故A正确；对于B，$L_{p_{2}}-L_{p_{3}} = 20\times\lg\frac{p_{2}}{p_{0}}-20\times\lg\frac{p_{3}}{p_{0}} = 20\times\lg\frac{p_{2}}{p_{3}}，$因为$L_{p_{2}}-L_{p_{3}} = L_{p_{2}}-40\geqslant10，$则$20\times\lg\frac{p_{2}}{p_{3}}\geqslant10，$即$\lg\frac{p_{2}}{p_{3}}\geqslant\frac{1}{2}，$所以$\frac{p_{2}}{p_{3}}\geqslant\sqrt{10}$且$p_{2}，$$p_{3}＞0，$可得$p_{2}\geqslant\sqrt{10}p_{3}，$当且仅当$L_{p_{2}} = 50$时，等号成立，故B错误；对于C，因为$L_{p_{3}} = 20\times\lg\frac{p_{3}}{p_{0}} = 40，$即$\lg\frac{p_{3}}{p_{0}} = 2，$可得$\frac{p_{3}}{p_{0}} = 100，$即$p_{3} = 100p_{0}，$故C正确；对于D，由选项A可知，$L_{p_{1}}-L_{p_{2}} = 20\times\lg\frac{p_{1}}{p_{2}}，$且$L_{p_{1}}-L_{p_{2}}\leqslant90 - 50 = 40，$则$20\times\lg\frac{p_{1}}{p_{2}}\leqslant40，$即$\lg\frac{p_{1}}{p_{2}}\leqslant2，$可得$\frac{p_{1}}{p_{2}}\leqslant100$且$p_{1}，$$p_{2}＞0，$所以$p_{1}\leqslant100p_{2}，$故D正确. 故选ACD.
解法二：因为$L_{p}=20\times\lg\frac{p}{p_{0}}$随着p的增大而增大，且$L_{p_{1}}\in[60，$90]，$L_{p_{2}}\in[50，$60]，所以$L_{p_{1}}\geqslant L_{p_{2}}，$所以$p_{1}\geqslant p_{2}，$故A正确；由$L_{p}=20\times\lg\frac{p}{p_{0}}，$得$p = p_{0}10^{\frac{L_{p}}{20}}，$因为$L_{p_{3}} = 40，$所以$p_{3} = p_{0}10^{\frac{40}{20}} = 100p_{0}，$故C正确；假设$p_{2}＞10p_{3}，$则$p_{0}10^{\frac{L_{p_{2}}}{20}}＞10p_{0}10^{\frac{L_{p_{3}}}{20}}，$所以$10^{\frac{L_{p_{2}}}{20}-\frac{L_{p_{3}}}{20}}＞10，$所以$L_{p_{2}}-L_{p_{3}}＞20，$该式不可能成立，故B错误；因为$\frac{100p_{2}}{p_{1}}=\frac{100p_{0}10^{\frac{L_{p_{2}}}{20}}}{p_{0}10^{\frac{L_{p_{1}}}{20}}}=10^{\frac{L_{p_{2}}}{20}-\frac{L_{p_{1}}}{20}+2}\geqslant1，$所以$p_{1}\leqslant100p_{2}，$故D正确. 故选ACD.]