《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

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1.(2024·衡水中学模拟)已知$\frac{x}{1 + i}$ = 1 - yi,其中x,y是实数,i是虚数单位,则x + yi的共轭复数为(　　)
A. 2 + i　　　　　　　
　B. 2 - i
C. 1 + 2i　　　　　　
　D. 1 - 2i

答案： B [由$\frac{x}{1 + i}=1 - yi$，得$\frac{x(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}=1 - yi$，即$\frac{x}{2}-\frac{x}{2}i = 1 - yi$，
∴$\begin{cases}\frac{x}{2}=1\\\frac{x}{2}=y\end{cases}$，解得x = 2，y = 1，
∴x + yi = 2 + i，
∴其共轭复数为2 - i. 故选B.]

2.复数z = (3 + i)(1 - 4i),则复数z的实部与虚部之和是______.

答案： 答案 - 4
解析 z = (3 + i)(1 - 4i)=7 - 11i，则z的实部为7，虚部为 - 11，故复数z的实部与虚部之和是7 - 11 = - 4.

例2　　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z = $\frac{1 - i}{2 + 2i}$,则z - $\overline{z}$ =(　　)
A. -i　　
　B. i　　　
　C. 0　　　
　D. 1

答案： A [因为z = $\frac{1 - i}{2 + 2i}=\frac{(1 - i)(1 - i)}{2(1 + i)(1 - i)}=\frac{-2i}{4}=-\frac{1}{2}i$，所以$\overline{z}=\frac{1}{2}i$，所以z - $\overline{z}$= - i. 故选A.]

(2)若复数z满足$\frac{z - i}{z + 1}$ = i,则z² = ______,|z| = ______.

答案： 答案 - 2i $\sqrt{2}$
解析 设z = a + bi(a，b∈R)，则$\frac{z - i}{z + 1}=\frac{a+(b - 1)i}{(a + 1)+bi}=i$，a + (b - 1)i = i·[(a + 1)+bi]= - b + (a + 1)i，所以$\begin{cases}a=-b\\b - 1=a + 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-1\\b = 1\end{cases}$，所以z = - 1 + i，故$z^{2}=(-1 + i)^{2}=-2i$，$\vert z\vert=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$.

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3.(2022·新高考Ⅱ卷)(2 + 2i)(1 - 2i) =(　　)
A. -2 + 4i　　　　　
　B. -2 - 4i
C. 6 + 2i　　　　　　
　D. 6 - 2i

答案： D [(2 + 2i)(1 - 2i)=2 + 4 - 4i + 2i = 6 - 2i. 故选D.]

4.(2023·全国乙卷)设z = $\frac{2 + i}{1 + i² + i³}$,则$\overline{z}$ =(　　)
A. 1 - 2i　　　　　　
　B. 1 + 2i
C. 2 - i　　　　　　　
　D. 2 + i

答案： B [由题意可得z = $\frac{2 + i}{1 + i^{2}+i^{5}}=\frac{2 + i}{1 - 1 + i}=\frac{i(2 + i)}{i^{2}}=\frac{2i - 1}{-1}=1 - 2i$，则$\overline{z}=1 + 2i$. 故选B.]

例3　　(1)如图,若向量$\overrightarrow{OZ}$对应的复数为z,则z + $\frac{4}{z}$表示的复数为(　　)

A. 1 + 3i　　　　　　
　B. -3 - i
C. 3 - i　　　　　　　
　D. 3 + i

答案： D [由题图可得Z(1， - 1)，即z = 1 - i，所以z + $\frac{4}{z}=1 - i+\frac{4}{1 - i}=1 - i+\frac{4(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}=1 - i+\frac{4 + 4i}{2}=1 - i+2 + 2i=3 + i$. 故选D.]

(2)(多选)(2024·江苏徐州模拟)已知复数z1 = -2 + i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为A,复数z2满足|z2 - 1 + i| = 2,z2在复平面内对应的点为B(x,y),则下列结论正确的是(　　)
A. 复数z1的虚部为i
B. (x - 1)² + (y + 1)² = 4
C. |z1 - z2|的最大值为$\sqrt{13}$ + 2
D. |z1 + z2|的最小值为$\sqrt{13}$ - 2

答案： BC [由$z_{1}=-2 + i$知，虚部为1，故A错误；因为$\vert z_{2}-1 + i\vert=2$，$z_{2}$在复平面内对应的点为B(x，y)，则$\vert(x - 1)+(y + 1)i\vert=2$，所以$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=4$，故B正确；由题意知，点B在以(1， - 1)为圆心，2为半径的圆上，根据复数的几何意义，$\vert AB\vert=\vert z_{1}-z_{2}\vert$，所以$\vert z_{1}-z_{2}\vert_{max}=\sqrt{(-2 - 1)^{2}+(1 + 1)^{2}}+2=\sqrt{13}+2$，故C正确；$\vert z_{1}+z_{2}\vert=\vert(-2 + x)+(1 + y)i\vert=\sqrt{(x - 2)^{2}+(y + 1)^{2}}$表示点B与定点(2， - 1)的距离，易知点(2， - 1)在圆内，所以$\vert z_{1}+z_{2}\vert_{min}=2-\sqrt{(2 - 1)^{2}+(-1 + 1)^{2}}=1$，故D错误. 故选BC.]

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5.在复平面内，复数$\frac{1}{1 - i}$的共轭复数对应的点位于(　　)
A. 第一象限　　　　
　B. 第二象限
C. 第三象限　　　　　
　D. 第四象限

答案： D [$\frac{1}{1 - i}=\frac{1 + i}{(1 - i)(1 + i)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$的共轭复数为$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$，对应点为$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$，在第四象限. 故选D.]

6.设复数z满足|z - 2i| = 1,在复平面内z对应的点到原点的距离的最大值是(　　)
A. 1　　　
　B. $\sqrt{3}$　　
　C. $\sqrt{5}$　　
　D. 3

答案： D [由题意可知，在复平面内复数z对应的点为复平面内一动点到定点(0，2)的距离为1的点的集合，即以(0，2)为圆心，1为半径的圆，圆心(0，2)到原点的距离为2，所以圆上任一点到原点的距离的最大值为2 + 1 = 3. 故选D.]