《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

【巩固迁移】
6. 已知点A，B在单位圆上，$\angle AOB=\frac{3\pi}{4}$，若$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+x\overrightarrow{OB}(x\in R)$，则$|\overrightarrow{OC}|^2$的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. $5 - 2\sqrt{2}$ D. 4

答案： A [$|\overrightarrow{OC}|^{2}=(2\overrightarrow{OA}+x\overrightarrow{OB})^{2}=4\overrightarrow{OA}^{2}+x^{2}\overrightarrow{OB}^{2}+4x|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\frac{3\pi}{4}=x^{2}-2\sqrt{2}x + 4=(x-\sqrt{2})^{2}+2\geqslant2$，因此$|\overrightarrow{OC}|^{2}\geqslant2$. 故选A.]

7. 已知$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$，$|\overrightarrow{AB}|=\frac{1}{t}$，$|\overrightarrow{AC}| = t$，$t\in[\frac{1}{4},4]$.若P是△ABC所在平面内一点，$\overrightarrow{AP}=\frac{4\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}+\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，则$\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}$的取值范围是________.

答案： 答案 $[\frac{3}{4},13]$
解析　由题意建立如图所示的平面直角坐标系，可得$A(0,0)$，$B(\frac{1}{t},0)$，$C(0,t)$，$\because\overrightarrow{AP}=\frac{4\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}+\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}=(0,4)+(1,0)=(1,4)$，$\therefore P(1,4)$，$\overrightarrow{PB}=(\frac{1}{t}-1,-4)$，$\overrightarrow{PC}=(-1,t - 4)$，$\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=(\frac{1}{t}-1)\times(-1)+(-4)\times(t - 4)=-\frac{1}{t}+1 - 4t + 16=-\frac{1}{t}-4t + 17\leqslant-2\sqrt{\frac{1}{t}\cdot4t}+17 = 13$，当且仅当$t=\frac{1}{2}$时，等号成立，又当$t=\frac{1}{4}$时，$\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=12$，当$t = 4$时，$\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=\frac{3}{4}$，所以$\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}$的取值范围为$[\frac{3}{4},13]$.

1. 复数的有关概念
（1）复数的定义：形如$a + bi(a,b\in\mathbf{R})$的数叫做复数，其中______是实部，______是虚部，$\mathrm{i}$为虚数单位.
（2）复数的分类
复数$z = a + bi(a,b\in\mathbf{R})$
$\begin{cases}实数(b\_\_\_\_0),\\虚数(b\_\_\_\_0)(当a\_\_\_\_0时为纯虚数).\end{cases}$
（3）复数相等
$a + bi = c + di\Leftrightarrow$______$(a,b,c,d\in\mathbf{R}).$
（4）共轭复数
$a + bi$与$c + di$互为共轭复数$\Leftrightarrow$______$(a,b,c,d\in\mathbf{R}).$
（5）复数的模
向量$\overrightarrow{OZ}$的模叫做复数$z = a + bi$的模或绝对值，记作______或______，即$|z| = |a + bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}(a,b\in\mathbf{R}).$

答案： a ，b，= ，≠ ，=， a = c且b = d ，a = c b = -d ，|z| ，|a + bi|