《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例2　　已知函数$f(x)=\ln x+\frac{1}{ax}-\frac{1}{a}(a\in\mathbf{R}$，且$a\neq0)$，讨论函数$f(x)$的单调性.

[课堂笔记]
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答案： 解 $f^{\prime}(x)=\frac{ax - 1}{ax^{2}}(x＞0)$，
①当 $a＜0$时，$f^{\prime}(x)＞0$恒成立，
$\therefore$函数 $f(x)$在 $(0,+\infty)$上单调递增；
②当 $a＞0$时，由 $f^{\prime}(x)=\frac{ax - 1}{ax^{2}}＞0$，得 $x＞\frac{1}{a}$；
由 $f^{\prime}(x)=\frac{ax - 1}{ax^{2}}＜0$，得 $0＜x＜\frac{1}{a}$，
$\therefore$函数 $f(x)$在 $(\frac{1}{a},+\infty)$上单调递增，在 $(0,\frac{1}{a})$上单调递减。
综上所述，当 $a＜0$时，函数 $f(x)$在 $(0,+\infty)$上单调递增；
当 $a＞0$时，函数 $f(x)$在 $(\frac{1}{a},+\infty)$上单调递增，在 $(0,\frac{1}{a})$上单调递减。

2.已知函数$g(x)=\ln x+ax^{2}-(2a + 1)x$.若$a＞0$，试讨论函数$g(x)$的单调性.

答案： 解 因为 $g(x)=\ln x+ax^{2}-(2a + 1)x$，
所以 $g^{\prime}(x)=\frac{2ax^{2}-(2a + 1)x + 1}{x}=\frac{(2ax - 1)(x - 1)}{x}$。
由题意知函数 $g(x)$的定义域为 $(0,+\infty)$，
若 $\frac{1}{2a}＜1$，即 $a＞\frac{1}{2}$，
由 $g^{\prime}(x)＞0$，得 $x＞1$或 $0＜x＜\frac{1}{2a}$，
由 $g^{\prime}(x)＜0$，得 $\frac{1}{2a}＜x＜1$，
即函数 $g(x)$在 $(0,\frac{1}{2a}),(1,+\infty)$上单调递增，在 $(\frac{1}{2a},1)$上单调递减；
若 $\frac{1}{2a}＞1$，即 $0＜a＜\frac{1}{2}$，
由 $g^{\prime}(x)＞0$，得 $x＞\frac{1}{2a}$或 $0＜x＜1$，
由 $g^{\prime}(x)＜0$，得 $1＜x＜\frac{1}{2a}$，
即函数 $g(x)$在 $(0,1),(\frac{1}{2a},+\infty)$上单调递增，在 $(1,\frac{1}{2a})$上单调递减；
若 $\frac{1}{2a}=1$，即 $a=\frac{1}{2}$，则在 $(0,+\infty)$上恒有 $g^{\prime}(x)\geqslant0$，
即函数 $g(x)$在 $(0,+\infty)$上单调递增。
综上可得，当 $0＜a＜\frac{1}{2}$时，函数 $g(x)$在 $(0,1)$上单调递增，在 $(1,\frac{1}{2a})$上单调递减，在 $(\frac{1}{2a},+\infty)$上单调递增；
当 $a=\frac{1}{2}$时，函数 $g(x)$在 $(0,+\infty)$上单调递增；
当 $a＞\frac{1}{2}$时，函数 $g(x)$在 $(0,\frac{1}{2a})$上单调递增，在 $(\frac{1}{2a},1)$上单调递减，在 $(1,+\infty)$上单调递增。

例3　　已知$f'(x)$是$f(x)$的导函数，$f'(x)$的图象如图所示，则$f(x)$的图象只可能是　　(　　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： D [由题中 $f^{\prime}(x)$的图象可以看出，在 $(a,b)$内，$f^{\prime}(x)＞0$，
且在 $(a,\frac{a + b}{2})$内，$f^{\prime}(x)$单调递增，在 $(\frac{a + b}{2},b)$内，$f^{\prime}(x)$单调递减，所以函数 $f(x)$在 $(a,b)$内单调递增，且其图象在 $(a,\frac{a + b}{2})$内越来越陡峭，在 $(\frac{a + b}{2},b)$内越来越平缓。故选D.]

3.(2023·浙江绍兴诸暨市高三下学期5月联考)如图是函数$y = f(x)$的导函数$y = f'(x)$的图象，若$f(2)=0$，则$y = f(x)$的图象大致为　　　　　　(　　　)
　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： D [由 $y = f^{\prime}(x)$的图象可知，当 $0＜x＜1$时，$0＜f^{\prime}(x)＜1$，则在区间 $(0,1)$上，曲线 $y = f(x)$上各点处切线的斜率在区间 $(0,1)$内。对于A，在区间 $(0,1)$上，曲线 $y = f(x)$上各点处切线的斜率均小于 $0$，故A不正确；对于B，在区间 $(0,1)$上，曲线 $y = f(x)$上存在点，在该点处切线的斜率大于 $1$，故B不正确；对于C，在区间 $(0,1)$上，曲线 $y = f(x)$上存在点，在该点处切线的斜率大于 $1$，故C不正确；对于D，由 $y = f^{\prime}(x)$的图象可知，当 $0＜x＜1$时，$0＜f^{\prime}(x)＜1$，当 $1＜x＜3$时，$f^{\prime}(x)＜0$，当 $x＞3$时，$f^{\prime}(x)＞0$，所以在区间 $(0,1)$上，曲线 $y = f(x)$上各点处切线的斜率在区间 $(0,1)$内，函数 $y = f(x)$在 $(0,1)$上单调递增，在 $(1,3)$上单调递减，在 $(3,+\infty)$上单调递增，而选项D中函数 $y = f(x)$的图象均符合这些性质，故D正确。故选D.]

例4　　(2023·浙江重点中学拔尖学生培养联盟高三下学期适应性考试)设$a = 2\ln1.4$，$b=\sqrt{1.6}-1$，$c=\ln1.6$，则　　　　　　　　(　　　)
A.$c\lt a\lt b$　　　　　　B.$c\lt b\lt a$
C.$b\lt a\lt c$　　　　　　D.$b\lt c\lt a$

答案： D [因为 $2\ln1.4=\ln1.4^{2}=\ln1.96,\ln1.96＞\ln1.6$，所以 $a＞c$；令 $f(x)=\ln x-(\sqrt{x}-1)$，则 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2-\sqrt{x}}{2x}$，
当 $x\in[1,4]$时，$f^{\prime}(x)＞0$，$f(x)$单调递增，所以 $f(1.6)＞f(1)=0$，即 $\ln1.6＞\sqrt{1.6}-1$，即 $b＜c$，所以 $b＜c＜a$。故选D.]