《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

4.(2023·江苏淮安一模)已知点A(2,0)是圆x² + y² = 4上一点，点B(1,1)是圆内一点，P,Q 为圆上的动点.
　(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;
　(2)若∠PBQ = 90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.

答案：
解（1）设 $AP$ 的中点为 $M(x,y)$，由中点坐标公式可知，点 $P$ 的坐标为 $(2x - 2,2y)$。因为点 $P$ 在圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 上，所以 $(2x - 2)^{2}+(2y)^{2}=4$。故线段 $AP$ 的中点 $M$ 的轨迹方程为 $(x - 1)^{2}+y^{2}=1$。
（2）如图，设 $PQ$ 的中点 $N(x,y)$，在 $Rt\triangle PBQ$ 中，$\vert PN\vert=\vert BN\vert$，设 $O$ 为坐标原点，则 $ON\perp PQ$，所以 $\vert OP\vert^{2}=\vert ON\vert^{2}+\vert PN\vert^{2}=\vert ON\vert^{2}+\vert BN\vert^{2}$，所以 $x^{2}+y^{2}+(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=4$。故线段 $PQ$ 的中点 $N$ 的轨迹方程为 $x^{2}+y^{2}-x - y - 1 = 0$。

例3　　已知M(x,y)为圆C:x² + y² - 4x - 14y + 45 = 0上任意一点，且点Q(-2,3).
　(1)求|MQ|的最大值和最小值;
　(2)求$\frac{y - 3}{x + 2}$的最大值和最小值;
　(3)求y - x的最大值和最小值.

答案： 解（1）由圆 $C:x^{2}+y^{2}-4x - 14y + 45 = 0$，可得 $(x - 2)^{2}+(y - 7)^{2}=8$，所以圆心 $C$ 的坐标为 $(2,7)$，半径 $r = 2\sqrt{2}$。又 $\vert QC\vert=\sqrt{(2 + 2)^{2}+(7 - 3)^{2}}=4\sqrt{2}$，所以 $\vert MQ\vert_{max}=4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$，$\vert MQ\vert_{min}=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
（2）可知 $\frac{y - 3}{x + 2}$ 表示直线 $MQ$ 的斜率 $k$。设直线 $MQ$ 的方程为 $y - 3 = k(x + 2)$，即 $kx - y+2k + 3 = 0$。因为直线 $MQ$ 与圆 $C$ 有交点，所以 $\frac{\vert 2k - 7+2k + 3\vert}{\sqrt{k^{2}+1}}\leq2\sqrt{2}$，解得 $2-\sqrt{3}\leq k\leq2+\sqrt{3}$，所以 $\frac{y - 3}{x + 2}$ 的最大值为 $2+\sqrt{3}$，最小值为 $2-\sqrt{3}$。
（3）设 $y - x = b$，则 $x - y + b = 0$。当直线 $x - y + b = 0$ 与圆 $C$ 相切时，截距 $b$ 取到最值，所以 $\frac{\vert 2 - 7 + b\vert}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=2\sqrt{2}$，解得 $b = 9$ 或 $b = 1$，所以 $y - x$ 的最大值为 $9$，最小值为 $1$。

5.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）
A.4　　　
　B.5　　　
　C.6　　　
　D.7

答案：
A [设圆心为 $C(x,y)$，则 $\sqrt{(x - 3)^{2}+(y - 4)^{2}}=1$，化简得 $(x - 3)^{2}+(y - 4)^{2}=1$，所以圆心 $C$ 的轨迹是以 $M(3,4)$ 为圆心，$1$ 为半径的圆，如图。所以 $\vert OC\vert+1\geq\vert OM\vert=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$，所以 $\vert OC\vert\geq5 - 1 = 4$，当且仅当 $C$ 在线段 $OM$ 上时取得等号。故选 A。]

6.已知A(-2,0)，B(2,0)，点P是圆C:(x - 3)² + (y - $\sqrt{7}$)² = 1上的动点，则|AP|² + |BP|²的最大值为（ ）
A.40　　
　B.46　　
　C.48　　
　D.58

答案： D [设 $O$ 为坐标原点，$P(x,y)$，则 $\vert AP\vert^{2}+\vert BP\vert^{2}=(x + 2)^{2}+y^{2}+(x - 2)^{2}+y^{2}=2(x^{2}+y^{2})+8 = 2\vert PO\vert^{2}+8$。圆 $C$ 的圆心为 $C(3,\sqrt{7})$，半径为 $r = 1$，$\vert OC\vert = 4$，所以 $\vert PO\vert^{2}$ 的最大值为 $(\vert OC\vert+r)^{2}=(4 + 1)^{2}=25$，所以 $\vert AP\vert^{2}+\vert BP\vert^{2}$ 的最大值为 $58$。]

例4　　(2023·湘潭质检)设点P(x,y)是圆x² + (y - 3)² = 1上的动点，定点A(2,0)，B(-2,0)，则$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$的最大值为________.

答案： 答案 $12$
解析 由题意，得 $\overrightarrow{PA}=(2 - x,-y)$，$\overrightarrow{PB}=(-2 - x,-y)$，所以 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=x^{2}+y^{2}-4$，由于点 $P(x,y)$ 是圆上的点，故其坐标满足方程 $x^{2}+(y - 3)^{2}=1$，故 $x^{2}=-(y - 3)^{2}+1$，所以 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=-(y - 3)^{2}+1+y^{2}-4 = 6y - 12$。易知 $2\leq y\leq4$，所以当 $y = 4$ 时，$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ 的值最大，最大值为 $6\times4 - 12 = 12$。

7.等边三角形ABC的面积为9$\sqrt{3}$，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN| = 1，则$\overrightarrow{NA} \cdot \overrightarrow{NB}$的最小值为（ ）
A.-5 - 2$\sqrt{3}$　　　　
　B.-5 - 4$\sqrt{3}$
C.-6 - 2$\sqrt{3}$　　　　
　D.-6 - 4$\sqrt{3}$

答案：
A [设等边三角形 $ABC$ 的边长为 $a$，则面积 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}=9\sqrt{3}$，解得 $a = 6$。以 $AB$ 所在直线为 $x$ 轴，$AB$ 的垂直平分线为 $y$ 轴建立如图所示的平面直角坐标系。由 $M$ 为 $\triangle ABC$ 的内心，则 $M$ 在 $OC$ 上，且 $\vert OM\vert=\frac{1}{3}\vert OC\vert$，则 $A(-3,0)$，$B(3,0)$，$C(0,3\sqrt{3})$，$M(0,\sqrt{3})$，由 $\vert MN\vert = 1$，则点 $N$ 在以 $M$ 为圆心，$1$ 为半径的圆上。设 $N(x,y)$，则 $x^{2}+(y - \sqrt{3})^{2}=1$，即 $x^{2}+y^{2}-2\sqrt{3}y + 2 = 0$，且 $\sqrt{3}-1\leq y\leq1+\sqrt{3}$，又 $\overrightarrow{NA}=(-3 - x,-y)$，$\overrightarrow{NB}=(3 - x,-y)$，所以 $\overrightarrow{NA}\cdot\overrightarrow{NB}=(x + 3)(x - 3)+y^{2}=x^{2}+y^{2}-9 = 2\sqrt{3}y - 11\geq2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)-11=-5 - 2\sqrt{3}$。]