《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

3. 已知抛物线$x^2 = 2py(p＞0)$的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若$\triangle FPM$为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________.

答案： 答案 $x^2 = 4y$
解析 因为△FPM为等边三角形，则|PM| = |PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设$P(m,\frac{m^2}{2p})$，则点$M(m,-\frac{p}{2})$.因为焦点$F(0,\frac{p}{2})$，△FPM是等边三角形，所以$\begin{cases}\frac{m^2}{2p}+\frac{p}{2}=4,\\\sqrt{(\frac{p}{2}+\frac{p}{2})^2 + m^2}=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}m^2 = 12,\\p = 2,\end{cases}$因此抛物线的方程为$x^2 = 4y$.

4. （2024·吉林长春期末）已知抛物线$y = mx^2$过点$(2,1)$，则该抛物线的焦点到准线的距离为________.

答案：
答案 2
解析 因为抛物线$y = mx^2$过点(2，1)，所以4m = 1，$m=\frac{1}{4}$，所以抛物线的方程为$x^2 = 4y$.由于焦点在y轴上的抛物线的标准方程为$x^2 = 2py$，其焦点到准线的距离为p，因此2p = 4，p = 2，即该抛物线的焦点到准线的距离为2.

例3　　（2024·四川南充零模）若点A在焦点为F的抛物线$y^2 = 4x$上，且$|AF| = 2$，点P为直线$x = -1$上的动点，则$|PA| + |PF|$的最小值为（ ）
A. $2\sqrt{5}$　
　B. $2 + \sqrt{5}$　
　C. $2 + 2\sqrt{2}$　
　D. 4

答案：
A [设点A的坐标为$(x_A,y_A)$，抛物线$y^2 = 4x$的焦点F(1，0)，准线x = - 1，|AF| = $x_A + 1 = 2$，$x_A = 1$，则$y_A^2 = 4$，$y_A=\pm2$，不妨设A(1，2)，F(1，0)关于直线x = - 1的对称点为F'(- 3，0)，由于|PF| = |PF'|，所以当A，P，F'三点共线时|PA| + |PF|最小，所以|PA| + |PF|的最小值为$\sqrt{(1 + 3)^2+(2 - 0)^2}=2\sqrt{5}$.故选A.]

5. 已知点$M(20,40)$，抛物线$y^2 = 2px(p＞0)$的焦点为F. 若对于抛物线上的一点P，$|PM| + |PF|$的最小值为41，则p的值为________.

答案：
答案 42或22
解析 当点M(20，40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF| = |PD|，|PM| + |PF| = |PM| + |PD|.当M，P，D三点共线时，|PM| + |PF|的值最小.由最小值为41，得$20+\frac{p}{2}=41$，解得p = 42；当点M(20，40)位于抛物线外时，如图②，当F，P，M三点共线时，|PM| + |PF|的值最小.由最小值为41，得$\sqrt{40^2+(20-\frac{p}{2})^2}=41$，解得p = 22或p = 58.当p = 58时，$y^2 = 116x$，点M(20，40)在抛物线内，故舍去.综上，p = 42或p = 22.

例4　　（2024·浙江金丽衢十二校联考）已知直线$l_1:3x - 4y - 6 = 0$和直线$l_2:y = -2$，抛物线$x^2 = 4y$上一动点P到直线$l_1$、直线$l_2$的距离之和的最小值是（ ）
A. 2　　　
　B. 3　　　
　C. $\frac{11}{5}$　　
　D. $\frac{37}{16}$

答案：
B [抛物线$x^2 = 4y$的焦点F(0，1)，准线l：y = - 1，设动点P到直线l，$l_1$，$l_2$的距离分别为d，$d_1$，$d_2$，点F到直线$l_1$的距离为$d_3$，则$d_3=\frac{|3\times0 - 4\times1 - 6|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=2$，则$d_2=d + 1 = |PF| + 1$，可得$d_1 + d_2 = d_1 + |PF| + 1\geq d_3 + 1 = 3$，当且仅当点P在点F到直线$l_1$的垂线上且P在F与$l_1$之间时，等号成立，即动点P到直线$l_1$、直线$l_2$的距离之和的最小值是3.故选B.]

6. （2023·山西阳泉期末）已知点P为抛物线$y^2 = 2px(p＞0)$上一动点，点Q为圆C：$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 1$上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若$|PQ| + d$的最小值为2，则p =（ ）
A. $\frac{1}{2}$　　
　B. 1　　　
　C. 3　　　
　D. 4

答案：
D [如图，圆C：$(x + 1)^2+(y - 4)^2 = 1$的圆心C(- 1，4)，半径r = 1，抛物线的焦点$F(\frac{p}{2},0)$.根据抛物线的定义可知$d = |PF|-\frac{p}{2}$，所以|PQ| + d = |PQ| + |PF|-\frac{p}{2}，由图可知，当C，Q，P，F共线，且P，Q在线段CF之间时，|PQ| + |PF|最小，而$|CF|=\sqrt{(\frac{p}{2}+1)^2 + 16}$，故有$(|PQ| + |PF|-\frac{p}{2})_{min}=|CF|-r-\frac{p}{2}=2$，即$\sqrt{(\frac{p}{2}+1)^2 + 16}-1-\frac{p}{2}=2$，解得p = 4.故选D.]