《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若函数$f(x)$为奇函数，则$f(0) = 0$.（ ）
（2）若$T$是函数$f(x)$的一个周期，则$nT(n\in\mathbf{Z},n\neq0)$也是函数$f(x)$的周期.（ ）
（3）函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，若$f(-1) = f(1)$，则$f(x)$一定是偶函数.（ ）
（4）若函数$f(x)$满足关系$f(a + x) = -f(b - x)$，则函数$f(x)$的图象关于点$(\frac{a + b}{2},0)$对称.（ ）

答案：
(1)×
(2)√
(3)×
(4)√

2. 小题热身
（1）（多选）（人教 A 必修第一册 3.2.2 例 6 改编）下列给出的函数是奇函数的是（ ）
A. $y = \frac{1}{x}$
B. $y = \frac{x^{2} + 1}{x}$
C. $y = x^{3} + 1$
D. $y = \sin x$

答案： ABD

（2）已知定义域是$\mathbf{R}$的函数$f(x)$满足：$\forall x\in\mathbf{R}$，$f(4 + x) + f(-x) = 0$，$f(1 + x)$为偶函数，$f(1) = 1$，则$f(2027) =$（ ）
A. 1
B. -1
C. 2
D. -3

答案： B [因为$f(1 + x)$为偶函数，所以$f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称，所以$f(2 - x)=f(x)$，又由$f(4 + x)+f(-x)=0$，得$f(4 + x)=-f(-x)$，所以$f(8 + x)=-f(-4 - x)=-f(6 + x)$，所以$f(x + 2)=-f(x)$，所以$f(x + 4)=f(x)$，故$f(x)$的周期为4，所以$f(2027)=f(3)=-f(1)=-1$. 故选B.]

（3）已知函数$f(x)$为奇函数，当$x\lt0$时，$f(x) = 2^{x} + 2$，则$f(1) =$_______.

答案： $-\frac{5}{2}$

（4）（北师大版必修第二册习题 1.1 T3 改编）已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的周期为 3 的奇函数，且$f(-1) = 2f(10) + 3$，则$f(2026) =$_______.

答案： 答案 -1
解析 因为$f(-1)=2f(10)+3$，所以$f(-1)=2f(3×3 + 1)+3=2f(1)+3=-2f(-1)+3$，即$3f(-1)=3$，解得$f(-1)=1$，故$f(2026)=f(1)=-f(-1)=-1$.