《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

必备知识　　　强基础
知识梳理
1. 二次函数与一元二次方程、不等式解集的对应关系
　

答案： 1. = 2. = 3.= 4.= 5. = 6. = 

2. 分式不等式
　(1)$\frac{f(x)}{g(x)}＞0(＜0)\Leftrightarrow$ ____________.
　(2)$\frac{f(x)}{g(x)}\geqslant0(\leqslant0)\Leftrightarrow$ ____________.

答案：
(1)f(x)g(x)＞0(＜0) 
(2)f(x)g(x)⩾0(⩽0)且g(x)=0

3. 简单的绝对值不等式
　$|x|＞a(a＞0)$的解集为 ____________，$|x|＜a(a＞0)$的解集为 ____________.

答案： $(-\infty,-a)\cup(a,+\infty)$   ，$(-a,a)$

1. 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
　(1)不等式$-x^{2}-x + 6＞0$的解集是$\{x|x＜-3或x＞2\}$. （ ）
　(2)不等式$\frac{x - 1}{x + 3}\geqslant2$等价于$x - 1\geqslant2x + 6$. （ ）
　(3)不等式$x^{2}-a\leqslant0$的解集是$[-\sqrt{a},\sqrt{a}]$. （ ）
　(4)已知函数$f(x)=ax^{2}+bx + c$，关于$x$的不等式$f(x)＜0$的解集为$(-1,3)$，则$f(4)＞f(0)＞f(1)$. （ ）

答案：
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√

2. 小题热身
　

答案：

(1)(人教B必修第一册2.2.3练习B T1改编)已知集合$A = \{0,1,2,4\}$，$B = \{x|x^{2}-6x + 5＜0\}$，则$A\cap B=$ （ ）
A. $\{0,1,2,3,4\}$
B. $\{1,2,4\}$
C. $\{0,1\}$
D. $\{2,4\}$

答案： D [由题意，得$B = \{x|x^{2}-6x + 5 ＜ 0\} = \{x|1 ＜ x ＜ 5\}$，所以$A\cap B = \{2,4\}$. 故选 D.]

(2)设$m + n＞0$，则关于$x$的不等式$(m - x)(n + x)＞0$的解集是 （ ）
A. $\{x|x＜-n或x＞m\}$
B. $\{x|-n＜x＜m\}$
C. $\{x|x＜-m或x＞n\}$
D. $\{x|-m＜x＜n\}$

答案： B [原不等式可变形为$(x - m)(x + n) ＜ 0$，方程$(x - m)\cdot(x + n) = 0$的两根为$m$，$-n$，显然由$m + n ＞ 0$，得$m ＞ -n$，所以原不等式的解集是$\{x|-n ＜ x ＜ m\}$. 故选 B.]

(3)若关于$x$的不等式$ax^{2}+bx + 2＞0$的解集是$(-\frac{1}{2},\frac{1}{3})$，则$a + b$的值是______.

答案： 答案 -14
解析 由题意，知$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$是方程$ax^{2}+bx + 2 = 0$的两根，由根与系数的关系，得$\begin{cases}-\frac{b}{a}=-\frac{1}{6},\\\frac{2}{a}=-\frac{1}{6},\end{cases}$则$\begin{cases}a = -12,\\b = -2.\end{cases}$所以$a + b = -14$.

(4)若不等式$mx^{2}+2mx - 4＜2x^{2}+4x$对任意$x$都成立，则实数$m$的取值范围是______.

答案： 答案 $(-2,2]$
解析 原不等式可整理为$(2 - m)x^{2}+(4 - 2m)x + 4 ＞ 0$. 当$m = 2$时，不等式为$4 ＞ 0$，该不等式恒成立；当$m\neq2$时，需满足$\begin{cases}2 - m ＞ 0,\\(4 - 2m)^{2}-4\times4\times(2 - m) ＜ 0,\end{cases}$解得$-2 ＜ m ＜ 2$. 综上可知，实数$m$的取值范围是$(-2,2]$.

考向1　不含参数的一元二次不等式的解法
例1　　已知集合$A = \{ x|4 - x^{2} ＞ 0\},B = \{ x|x^{2} - 4x + 3 ＜ 0\}$,则$A\cup B =$ （ ）
A. $\{ x|-2 ＜ x ＜ 1\}$ B. $\{ x|1 ＜ x ＜ 2\}$
C. $\{ x|-2 ＜ x ＜ 3\}$ D. $\{ x|-2 ＜ x ＜ 2\}$
[课堂笔记]　______________________________

答案： C　[因为$A = \{ x\mid - 2 ＜ x ＜ 2\}$，$B = \{ x\mid 1 ＜ x ＜ 3\}$，所以$A\cup B = \{ x\mid - 2 ＜ x ＜ 3\}$. 故选C.]