《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例4 (2024·江苏辅仁中学阶段考试)设等差数列的公差为d,点在函数f(x)=2ˣ的图象上(n∈N*).
(1)若a₁=-2,点(a₈,4b₇)在函数f(x)的图象上,求数列的前n项和;
(2)若a₁=1,函数f(x)的图象在点(a₂,b₂)处的切线在x轴上的截距为2 - $\frac{1}{ln2}$,求数列的前n项和

答案： 解　
(1)由已知，得$b_{7}=2^{a_{7}}$，$b_{8}=2^{a_{8}}=4b_{7}$，有$2^{a_{8}}=4\times2^{a_{7}}=2^{a_{7}+2}$，
解得$d=a_{8}-a_{7}=2$，
所以$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d=-2n + n(n - 1)=n^{2}-3n$。
(2)函数$f(x)=2^{x}$的图象在点$(a_{2},b_{2})$处的切线方程为$y - 2^{a_{2}}=(2^{a_{2}}\ln2)(x - a_{2})$，
它在$x$轴上的截距为$a_{2}-\frac{1}{\ln2}$。
则$a_{2}-\frac{1}{\ln2}=2-\frac{1}{\ln2}$，解得$a_{2}=2$，
所以$d=a_{2}-a_{1}=1$，从而$a_{n}=n$，$b_{n}=2^{n}$。
所以$T_{n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^{2}}+\frac{3}{2^{3}}+\cdots+\frac{n - 1}{2^{n - 1}}+\frac{n}{2^{n}}$，
$2T_{n}=\frac{1}{1}+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\cdots+\frac{n}{2^{n - 1}}$。
因此$2T_{n}-T_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n - 1}}-\frac{n}{2^{n}}=2-\frac{1}{2^{n - 1}}-\frac{n}{2^{n}}=\frac{2^{n + 1}-n - 2}{2^{n}}$。
所以$T_{n}=\frac{2^{n + 1}-n - 2}{2^{n}}$。

变式训练 4.(2024·湖南湘潭一中阶段考试)设函数f(x)=$\frac{x}{2}$+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为
(1)求数列的通项公式;
(2)设的前n项和为,求sin

答案： 解　
(1)令$f'(x)=\frac{1}{2}+\cos x = 0$，
所以$\cos x=-\frac{1}{2}$，解得$x = 2k\pi\pm\frac{2\pi}{3}(k\in Z)$。
由$x_{n}$是$f(x)$的第$n$个正极小值点知，$x_{n}=2n\pi-\frac{2\pi}{3}(n\in N^{*})$。
(2)由
(1)可知，$S_{n}=2\pi(1 + 2+\cdots+n)-\frac{2n\pi}{3}=n(n + 1)\pi-\frac{2n\pi}{3}$，
所以$\sin S_{n}=\sin[n(n + 1)\pi-\frac{2n\pi}{3}]$。
因为$n(n + 1)$表示两个连续正整数的乘积，所以$n(n + 1)$一定为偶数，
所以$\sin S_{n}=-\sin\frac{2n\pi}{3}$。
当$n = 3m - 2(m\in N^{*})$时，$\sin S_{n}=-\sin(2m\pi-\frac{4\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当$n = 3m - 1(m\in N^{*})$时，$\sin S_{n}=-\sin(2m\pi-\frac{2\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当$n = 3m(m\in N^{*})$时，$\sin S_{n}=-\sin2m\pi = 0$。
综上所述，$\sin S_{n}=\begin{cases}-\frac{\sqrt{3}}{2},n = 3m - 2(m\in N^{*})\\\frac{\sqrt{3}}{2},n = 3m - 1(m\in N^{*})\\0,n = 3m(m\in N^{*})\end{cases}$。