《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例1　　(1)直线2x + y + 1 = 0和直线x + 2y + 1 = 0的位置关系是（ ）
A.平行
B.相交但不垂直
C.垂直
D.重合

答案： B [方程2x + y + 1 = 0可化为y = -2x - 1，因此该直线的斜率k1 = -2.方程x + 2y + 1 = 0可化为y = - $\frac{1}{2}$x - $\frac{1}{2}$，因此该直线的斜率k2 = - $\frac{1}{2}$，因为k1 ≠ k2，k1·k2 = 1 ≠ -1，所以这两条直线相交但不垂直.故选B.]

(2)(2024·四川宜宾叙州区第一中学期中)直线l1:2x - my + 8 = 0和直线l2:mx + 2y - 4 = 0(m∈R)的位置关系是（ ）
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.重合

答案： B [因为2·m + (-m)·2 = 0，所以直线l1与直线l2相互垂直.故选B.]

(1)(2024·湖南郴州模拟)若l1与l2为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别为α1,α2,斜率分别为k1,k2,则下列命题正确的是（ ）
A.若斜率k1 = k2,则l1//l2
B.若k1k2 = -1,则l1⊥l2
C.若倾斜角α1 = α2,则l1//l2
D.若α1 + α2 = π,则l1⊥l2

答案： ABC [对于A，若两直线的斜率k1 = k2，则它们的倾斜角α1 = α2，则l1 // l2，A正确；对于B，由两直线垂直的条件可知，若k1k2 = -1，则l1 ⊥ l2，B正确；对于C，由两直线平行的条件可知，若倾斜角α1 = α2，则l1 // l2，C正确；对于D，若α1 - α2 = π，不妨取α1 = $\frac{\pi}{3}$，α2 = $\frac{2\pi}{3}$，则k1 = tanα1 = $\sqrt{3}$，k2 = tanα2 = - $\sqrt{3}$，k1k2 ≠ -1，l1，l2不垂直，D错误.故选ABC.]

例2　　(1)(2023·辽宁丹东二模)直线l1:x + ay - 3 = 0与直线l2:(a + 1)x + 2y - 6 = 0平行,则a = （ ）
A.-2
B.1
C.-2或1
D.-1或2

答案： A [由题意，直线l1：x + ay - 3 = 0与直线l2：(a + 1)x + 2y - 6 = 0平行，由1×2 = a(a + 1)，得a = -2或a = 1.当a = -2时，l1：x - 2y - 3 = 0，l2：-x + 2y - 6 = 0，l1 // l2；当a = 1时，l1：x + y - 3 = 0，l2：x + y - 3 = 0，l1与l2重合.故选A.]

(2)(2024·江苏徐州模拟)若直线l1:(a + 2)x + (1 - a)y - 3 = 0与直线l2:(a - 1)x + (2a + 3)y + 2 = 0互相垂直,则a = ________.

答案： 答案 ±1
解析 因为直线l1：(a + 2)x + (1 - a)y - 3 = 0与l2：(a - 1)x + (2a + 3)y + 2 = 0互相垂直，所以(a + 2)(a - 1) + (1 - a)·(2a + 3) = 0，得a² = 1，解得a = ±1.

(2)(2023·陕西安康统考二模)已知直线l1:(a - 2)x + ay + 1 = 0,直线l2:(a - 2)x + y + 2 = 0,则“a = 1”是“l1//l2”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： A [当a = 1时，l1：-x + y + 1 = 0，l2：-x + y + 2 = 0，所以l1 // l2，充分性成立；当l1 // l2时，$\begin{cases}a(a - 2)=a - 2\\2a\neq1\end{cases}$，解得a = 1或a = 2，必要性不成立.故选A.]

(3)(2023·吉林统考二模)已知a＞0,b＞0,若直线l1:ax + by - 2 = 0与直线l2:2x + (1 - a)y + 1 = 0垂直,则a + 2b的最小值为________.

答案： 答案 9
解析 由两直线垂直，得2a + b(1 - a) = 0，即2a + b = ab，整理可得$\frac{2}{b}+\frac{1}{a}=1$，所以a + 2b = (a + 2b)($\frac{2}{b}+\frac{1}{a}$) = $\frac{2a}{b}+1 + 4+\frac{2b}{a}\geqslant5 + 2\sqrt{\frac{2a}{b}\cdot\frac{2b}{a}} = 9$，当且仅当a = b = 3时，等号成立，因此a + 2b的最小值为9.

例3　　过直线l1:x - 3y + 4 = 0和l2:2x + y + 5 = 0的交点,且过原点的直线的方程为（ ）
A.19x - 9y = 0
B.9x + 19y = 0
C.19x - 3y = 0
D.3x + 19y = 0

答案： D [解法一：解方程组$\begin{cases}x - 3y + 4 = 0\\2x + y + 5 = 0\end{cases}$，可得直线l1和l2的交点坐标为(-$\frac{19}{7}$，$\frac{3}{7}$)，又所求直线过原点，所以所求直线的方程为y = - $\frac{3}{19}$x，即3x + 19y = 0.故选D.]
解法二：根据题意，可设所求的直线方程为x - 3y + 4 + λ(2x + y + 5) = 0，因为此直线过原点，所以4 + 5λ = 0，解得λ = - $\frac{4}{5}$，所以所求直线的方程为x - 3y + 4 - $\frac{4}{5}$(2x + y + 5) = 0，即3x + 19y = 0.故选D.]