《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

2.(2023·全国甲卷)已知椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{6}=1$，$F_{1}$,$F_{2}$为两个焦点，$O$为原点，$P$为椭圆上一点，$\cos\angle F_{1}PF_{2}=\frac{3}{5}$，则$|PO|=$　　　　　　(　　　)
　
A.$\frac{2}{5}$　　
　B.$\frac{\sqrt{30}}{2}$　
　C.$\frac{3}{5}$　　
　D.$\frac{\sqrt{35}}{2}$

答案： B

考向3　利用椭圆的定义求最值
例3　　已知$F_{1}$,$F_{2}$是椭圆$C:\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$的两个焦点，点$M$,$N$在$C$上，若$|MF_{2}|+|NF_{2}|=6$，则$|MF_{1}|\cdot|NF_{1}|$的最大值为　　　　　(　　　)
　
A.9　　　　B.20　　　C.25　　　D.30
　
[课堂笔记]　______________________________
[通性通法]
在椭圆中，结合$|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a$，运用基本不等式或三角形任意两边之和大于第三边可求最值.

答案： C

3.(2024·河北邯郸模拟)已知$F$是椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$的左焦点，$P$是此椭圆上的动点，$A(1,1)$是一定点，则$|PA|+|PF|$的最大值为________，最小值为________.

答案： $6+\sqrt{2}$；$6-\sqrt{2}$

考点二　椭圆的标准方程
例4　　(1)已知椭圆$C$的焦点为$F_{1}(-1,0)$，$F_{2}(1,0)$，过$F_{2}$的直线与$C$交于$A$,$B$两点.若$|AF_{2}|=2|F_{2}B|$，$|AB|=|BF_{1}|$，则椭圆$C$的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$　　　　　B.$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$
C.$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{6}=1$　　　　　D.$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$

答案：
(1)B

(2)(2024·山西大同模拟)过点$(2,-\sqrt{3})$，且与椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$有相同离心率的椭圆的标准方程为__________________.
[课堂笔记]　　______________________________
[通性通法]

答案：
(2)$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{6}=1$或$\frac{y^{2}}{\frac{25}{3}}+\frac{x^{2}}{\frac{25}{4}}=1$