《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

考点二 双曲线的标准方程
例4　(2024·天津北辰区模拟)与椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$共焦点且过点$P(2,1)$的双曲线的标准方程是____________.
[课堂笔记]
______________________________

答案： $\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$

【巩固迁移】
4. (2023·湖南郴州模拟)若双曲线经过点$(3,\sqrt{2})$，且渐近线方程是$y=\pm\frac{1}{3}x$，则双曲线的标准方程是____________.

答案： $y^{2}-\frac{x^{2}}{9}=1$

5. 过点$P(3,2\sqrt{7})$，$Q(-6\sqrt{2},7)$的双曲线的标准方程为____________.

答案： $\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{75}=1$

例5　(1)双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的实轴长是（ ）
A. 1
B. 2
C. $\sqrt{5}$
D. 4

答案： D

(2)已知双曲线$C:y^{2}-\frac{x^{2}}{2}=1$，则该双曲线的虚轴长为________，焦距为________.

答案： $2\sqrt{2}$ $2\sqrt{3}$

【巩固迁移】
6. (2023·河北唐山一调)设$4x^{2}+ky^{2}-4k = 0$表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为 （ ）
A. $2\sqrt{k}$
B. $2k$
C. $2\sqrt{-k}$
D. $-2\sqrt{k}$

答案： C

7. (2024·河南郑州期末)双曲线$\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{2}=1$与$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{6}=1$有相同的 （ ）
A. 离心率
B. 渐近线
C. 实轴长
D. 焦点

答案： D

例6　(1)(2023·河北衡水模拟)已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的焦距为$2\sqrt{5}$，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为 （ ）
A. $y=\pm\frac{1}{2}x$
B. $y=\pm 2x$
C. $y=\pm\sqrt{5}x$
D. $y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x$

答案： B

(2)(2022·全国甲卷)若双曲线$y^{2}-\frac{x^{2}}{m^{2}}=1(m＞0)$的渐近线与圆$x^{2}+y^{2}-4y + 3 = 0$相切，则$m=$________.

答案： $\frac{\sqrt{3}}{3}$