《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

【巩固迁移】
8. (2023·全国甲卷)已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的离心率为$\sqrt{5}$，其中一条渐近线与圆$(x - 2)^{2}+(y - 3)^{2}=1$交于$A$，$B$两点，则$|AB|=$ （ ）
A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

答案： D

9. 已知双曲线$\frac{x^{2}}{m + 1}-\frac{y^{2}}{m}=1(m＞0)$的渐近线方程为$x\pm\sqrt{3}y = 0$，则$m=$________.

答案： $\frac{1}{2}$

例7　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$. 点$A$在$C$上，点$B$在$y$轴上，$\overrightarrow{F_{1}A}\perp\overrightarrow{F_{1}B}$，$\overrightarrow{F_{2}A}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{F_{2}B}$，则$C$的离心率为________.

答案： $\frac{3\sqrt{5}}{5}$

(2)(2024·辽宁沈阳模拟)已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，双曲线的左顶点为$A$，以$F_{1}F_{2}$为直径的圆交双曲线的一条渐近线于$P$，$Q$两点，其中点$Q$在$y$轴右侧，若$|AQ|\geqslant 2|AP|$，则该双曲线的离心率的取值范围是________.

答案： $(1,\frac{\sqrt{21}}{3}]$

【巩固迁移】
10. (2024·九省联考)设双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，过坐标原点的直线与$C$交于$A$，$B$两点，$|F_{1}B| = 2|F_{1}A|$，$\overrightarrow{F_{2}A}\cdot\overrightarrow{F_{2}B}=4a^{2}$，则$C$的离心率为 （ ）
A. $\sqrt{2}$
B. 2
C. $\sqrt{5}$
D. $\sqrt{7}$

答案： D

11. 已知$F_{1}$，$F_{2}$分别是双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点，点$P$是双曲线$C$上在第一象限内的一点，若$\sin\angle PF_{2}F_{1}=3\sin\angle PF_{1}F_{2}$，则双曲线$C$的离心率的取值范围为________.

答案： $(1,2)$

例8　(1)(2023·湖北名校联考)已知$F_{1}$，$F_{2}$分别是双曲线$C:\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{21}=1$的左、右焦点，动点$P$在双曲线$C$的右支上，则$(|PF_{1}|-4)(|PF_{2}|-4)$的最小值为 （ ）
A. - 4
B. - 3
C. - 2
D. - 1

答案： B