《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

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5.（2024·山东枣庄三中月考）在三棱锥V - ABC中，侧面VBC⊥底面ABC，∠ABC = 45°，VA = VB，AC = AB，则（ ）
A.AC⊥BC B.VB⊥AC
C.VA⊥BC D.VC⊥AB
　　　　　　　　　　　　

答案：
C [因为∠ABC = 45°，AC = AB，所以△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB = ∠ABC = 45°，所以AC与BC不垂直，即A错误；过点V作VO⊥BC于点O，连接OA，因为侧面VBC⊥底面ABC，平面VBC∩平面ABC = BC，所以VO⊥平面ABC，即点V在底面ABC上的投影为点O，因为OA⊂平面ABC，所以VO⊥OA. 因为VA = VB，所以OA = OB，∠OAB = ∠OBA = 45°，所以OA⊥BC，因为VO∩OA = O，VO，OA⊂平面VOA，所以BC⊥平面VOA，因为VA⊂平面VOA，所以VA⊥BC，即C正确；由三垂线定理知，若VB⊥AC，则BC⊥AC，这与∠ACB = 45°矛盾，故VB与AC不垂直，同理，VC与AB不垂直，即B，D错误. 故选C.]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

6.（2023·全国甲卷）如图，在三棱柱ABC - A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB = 90°.
（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
（2）设AB = A1B，AA1 = 2，求四棱锥A1 - BB1C1C的高.
　　　　　　　　　　　　

答案：
解
(1)证明：因为A₁C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以A₁C⊥BC，
因为∠ACB = 90°，所以AC⊥BC，
又A₁C∩AC = C，A₁C，AC⊂平面ACC₁A₁，
所以BC⊥平面ACC₁A₁，
又BC⊂平面BB₁C₁C，
所以平面ACC₁A₁⊥平面BB₁C₁C.
(2)如图，过点A₁作A₁O⊥CC₁，垂足为O.
因为平面ACC₁A₁⊥平面BB₁C₁C，平面ACC₁A₁∩平面BB₁C₁C = CC₁，A₁O⊂平面ACC₁A₁，
所以A₁O⊥平面BB₁C₁C，
　　　　　　　　　　　　　　　　　
所以四棱锥A₁ - BB₁C₁C的高为A₁O.
因为∠ACB = 90°，A₁C⊥BC，A₁B = AB，BC为公共边，
所以△A₁BC≌△ABC，所以A₁C = AC.
又AC = A₁C₁，
所以A₁C = A₁C₁，
又A₁C⊥AC，AC//A₁C₁，所以A₁C⊥A₁C₁，
所以△CA₁C₁是等腰直角三角形，
所以A₁O = $\frac{1}{2}$CC₁ = 1，
所以四棱锥A₁ - BB₁C₁C的高为1.

例5 （多选）如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC = 60°，PA = AB = 2，AC与BD交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A.BD = AC
B.BD⊥平面PAC
C.PB与平面ABCD所成的角为π/4
D.二面角P - BD - A的正切值为2
　　　　　　　　　　　　

答案：
BCD [
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，又AB = 2，∠ABC = 60°，
∴AC = 2，BD = 2$\sqrt{3}$，故A不正确；
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，又PA∩AC = A，PA，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，故B正确；
∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA为PB与平面ABCD所成的角，又PA = AB = 2，
∴∠PBA = $\frac{\pi}{4}$，即PB与平面ABCD所成的角为$\frac{\pi}{4}$，故C正确；如图，连接PO，由B项知BD⊥平面PAC，
∴PO⊥BD，AO⊥BD，
∴∠POA为二面角P - BD - A的平面角，在Rt△PAO中，
∵PA = 2，AO = 1，tan∠POA = 2，
∴二面角P - BD - A的正切值为2，故D正确. 故选BCD.]
　　　　　　　　　　　　　　　　　

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7.（多选）如图，在矩形ABCD中，AB = 2AD = 4，M，N分别是AB，CD的中点，P是BM的中点.将矩形AMND沿MN折起，形成多面体AMB - DNC.
则下列结论正确的是（ ）
A.BD//平面ANP
B.BD⊥平面ANP
C.若二面角A - MN - B的大小为120°，则直线AP与平面ABCD所成角的正弦值为√7/7
D.若二面角A - MN - B的大小为120°，则直线AP与平面ABCD所成角的正弦值为√7/14
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　

答案：
AD [如图，连接MD交AN于点O，连接OP，由题意，得四边形AMND为矩形，
∴O为MD的中点，又P为BM的中点，
∴OP//BD，
∵BD⊄平面ANP，OP⊂平面ANP，
∴BD//平面ANP，故A正确，B错误；
∵AM⊥MN，BM⊥MN，
∴∠AMB即为二面角A - MN - B的平面角，
∵∠AMB = 120°，且MN⊥平面ABM，
∴BC⊥平面ABM，
∵BC⊂平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ABM，过P作PQ⊥AB于点Q，
∴PQ⊥平面ABCD，
∴∠PAB即为AP与平面ABCD所成的角，易得AM = MB = 2，AB = 2$\sqrt{3}$，PB = 1，
∴PQ = $\frac{1}{2}$，BQ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AQ = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴AP = $\sqrt{\frac{27}{4}+\frac{1}{4}}$ = $\sqrt{7}$，
∴sin∠PAB = $\frac{PQ}{AP}$ = $\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{7}}$ = $\frac{\sqrt{7}}{14}$，
∴直线AP与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{7}}{14}$，故C错误，D正确. 故选AD.]