《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

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6.(2024·福建师范大学附属中学高三月考)已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且在$(-\infty,0]$上单调递增.设$a = f(\log_{4}5),b = f(\log_{4}\frac{1}{3}),c = f(0.2^{0.5})$，则$a,b,c$的大小关系为（ ）
A.$a ＜ b ＜ c$
B.$c ＜ a ＜ b$
C.$a ＜ c ＜ b$
D.$b ＜ a ＜ c$

答案： A [依题意，函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且在$(-\infty,0]$上单调递增，所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减．因为$b = f(\log_{4}\frac{1}{3})=f(-\log_{4}3)=f(\log_{4}3)$，$0.2^{0.5}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}＜\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$，$\log_{4}3＞\log_{4}\sqrt{4}=\frac{1}{2}$，$\log_{4}5＞1＞\log_{4}3＞\frac{1}{2}＞0.2^{0.5}＞0$，所以$a＜b＜c$．故选A．]

考向2 函数的奇偶性与周期性的综合
例6 (2024·河北衡水中学高三模拟)已知$y = f(x)$为$\mathbf{R}$上的奇函数，$y = f(x + 1)$为偶函数，若当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\log_{2}(x + a)$，则$f(2025)=$（ ）
A.$-2$ B.$-1$
C.1 D.2

答案： C [$\because f(x)$为$\mathbf{R}$上的奇函数，且当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\log_{2}(x + a)$，$\therefore f(0)=0$，即$\log_{2}a = 0$，$\therefore a = 1$，$\therefore$当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\log_{2}(x + 1)$，$\because f(x + 1)$为偶函数，$\therefore f(x + 1)=f(-x + 1)$，$\therefore f(x + 2)=f(-x)$，又$f(x)$为$\mathbf{R}$上的奇函数，$\therefore f(-x)=-f(x)$，$\therefore f(x + 2)=-f(x)$，$\therefore f(x + 4)=-f(x + 2)=f(x)$，$\therefore f(x)$是周期为4的周期函数，$\therefore f(2025)=f(4\times506 + 1)=f(1)=\log_{2}(1 + 1)=1$．故选C．]

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7.(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(x + y)+f(x - y)=f(x)f(y),f(1)=1$，则$\sum_{k = 1}^{22}f(k)=$（ ）
A.$-3$ B.$-2$
C.0 D.1

答案： A [因为$f(x + y)+f(x - y)=f(x)f(y)$，令$x = 1$，$y = 0$可得$2f(1)=f(1)f(0)$，所以$f(0)=2$，令$x = 0$可得$f(y)+f(-y)=2f(y)$，即$f(y)=f(-y)$，所以函数$f(x)$为偶函数，令$y = 1$得$f(x + 1)+f(x - 1)=f(x)f(1)=f(x)$，即有$f(x + 2)+f(x)=f(x + 1)$，从而可知$f(x + 2)=-f(x - 1)$，$f(x - 1)=-f(x - 4)$，故$f(x + 2)=f(x - 4)$，即$f(x)=f(x + 6)$，所以函数$f(x)$的一个周期为6．因为$f(2)=f(1)-f(0)=1 - 2=-1$，$f(3)=f(2)-f(1)=-1 - 1=-2$，$f(4)=f(-2)=f(2)=-1$，$f(5)=f(-1)=f(1)=1$，$f(6)=f(0)=2$，所以$f(1)+f(2)+\cdots + f(6)=0$．由于22除以6余4，所以$\sum_{k = 1}^{22}f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1 - 1 - 2 - 1=-3$．故选A．]

考向3 函数的奇偶性、单调性、对称性与周期性的综合
例7 定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$，其图象关于点$(-2,0)$对称，且$f(x)$在$[0,2)$上单调递增，则（ ）
A.$f(11)＜f(12)＜f(21)$
B.$f(21)＜f(12)＜f(11)$
C.$f(11)＜f(21)＜f(12)$
D.$f(21)＜f(11)＜f(12)$

答案： A [$\because$函数$f(x)$的图象关于点$(-2,0)$对称，$\therefore f(x - 4)=-f(-x)$，又$f(x)$为定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，$\therefore -f(-x)=f(x)$，$\therefore f(x - 4)=f(x)$，即函数$f(x)$的周期是4，则$f(11)=f(-1)$，$f(12)=f(0)$，$f(21)=f(1)$，$\because f(x)$为奇函数，且在$[0,2)$上单调递增，则$f(x)$在$(-2,2)$上单调递增，$\therefore f(-1)＜f(0)＜f(1)$，即$f(11)＜f(12)＜f(21)$．故选A．]

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8.(多选)定义在$\mathbf{R}$上的偶函数$f(x)$满足$f(x + 2)=-f(x)$，且在$[-2,0]$上单调递减，下列关于$f(x)$的判断正确的是（ ）
A.$f(0)$是函数的最小值
B.$f(x)$的图象关于点$(1,0)$对称
C.$f(x)$在$[2,4]$上单调递增
D.$f(x)$的图象关于直线$x = 2$对称
提示：同步《课时作业(B本)》P402

答案： ABD [对于A，$\because f(x + 2)=-f(x)$，$\therefore f(x + 4)=-f(x + 2)=f(x)$，$\therefore f(x)$是周期为4的周期函数，又$f(x)$在$[-2,0]$上单调递减，在$\mathbf{R}$上是偶函数，$\therefore f(x)$在$[0,2]$上单调递增，$\therefore f(0)$是函数的最小值，A正确；对于B，由$f(x + 2)+f(-x)=0$，得$f(x)$的图象关于点$(1,0)$对称，B正确；对于C，$\because f(x)$在$[-2,0]$上单调递减，且$f(x)$是周期为4的周期函数，$\therefore f(x)$在$[2,4]$上单调递减，C错误；对于D，$\because f(x + 4)=f(x)=f(-x)$，$\therefore f(x)$的图象关于直线$x = 2$对称，D正确．故选ABD．]