《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例3 （2023·武汉模拟）已知函数$f(x)=3\sin(2x+\frac{\pi}{6})$，则函数$f(x)$的图象关于（ ）
A. 点$(\frac{\pi}{6},0)$对称
B. 点$(\frac{\pi}{3},0)$对称
C. 直线$x = \frac{\pi}{6}$对称
D. 直线$x = \frac{\pi}{3}$对称

答案： C[由题意，设$2x+\frac{\pi}{6}=k\pi,k\in\mathbf{Z}$，解得$x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},k\in\mathbf{Z}$，所以函数$f(x)$图象的对称中心为$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},0)(k\in\mathbf{Z})$. 设$2x+\frac{\pi}{6}=k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，解得$x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6},k\in\mathbf{Z}$，所以函数$f(x)$图象的对称轴为直线$x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6}(k\in\mathbf{Z})$，通过对比选项可知，$f(x)$的图象关于直线$x=\frac{\pi}{6}$对称. 故选C.]

【巩固迁移】
5.函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})+\cos(2x+\frac{\pi}{6})+2\sqrt{3}\cos^{2}x$的图象的一个对称中心是（ ）
A. $(-\frac{\pi}{3},0)$
B. $(0,3\sqrt{3})$
C. $(\frac{\pi}{4},\sqrt{3})$
D. $(\frac{\pi}{2},-\sqrt{3})$

答案： C[$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})+\cos(2x+\frac{\pi}{6})+2\sqrt{3}\cos^{2}x=\sin2x\cos\frac{\pi}{3}+\cos2x\sin\frac{\pi}{3}+\cos2x\cos\frac{\pi}{6}-\sin2x\sin\frac{\pi}{6}+2\sqrt{3}\cos^{2}x=\frac{1}{2}\sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2x-\frac{1}{2}\sin2x+2\sqrt{3}\cos^{2}x=\sqrt{3}\cos2x+\sqrt{3}(1+\cos2x)=2\sqrt{3}\cos2x+\sqrt{3}$. 由$2x=k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，得$x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{4},k\in\mathbf{Z}$，此时$f(x)=\sqrt{3}$，所以$f(x)$图象的对称中心为$(\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{4},\sqrt{3})(k\in\mathbf{Z})$，当$k = 0$时，$f(x)$图象的一个对称中心为$(\frac{\pi}{4},\sqrt{3})$. 故选C.]

6.（2023·全国乙卷）已知函数$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$在区间$(\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$单调递增，直线$x = \frac{\pi}{6}$和$x = \frac{2\pi}{3}$为函数$y = f(x)$的图象的两条对称轴，则$f(-\frac{5\pi}{12})=$（ ）
A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： D[由题意，$\frac{T}{2}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$，不妨设$\omega＞0$，则$T=\pi$，$\omega=\frac{2\pi}{T}=2$，当$x=\frac{\pi}{6}$时，$f(x)$取得最小值，则$2\cdot\frac{\pi}{6}+\varphi=2k\pi-\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，则$\varphi=2k\pi-\frac{5\pi}{6},k\in\mathbf{Z}$，不妨取$k = 0$，则$f(x)=\sin(2x-\frac{5\pi}{6})$，则$f(-\frac{5\pi}{12})=\sin(-\frac{5\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 故选D.]

例4 （多选）（2024·厦门模拟）已知函数$f(x)=\cos^{2}(x-\frac{\pi}{6})-\cos 2x$，则（ ）
A. $f(x)$的最小正周期为$\pi$
B. $f(x)$的图象关于点$(\frac{7\pi}{6},0)$对称
C. $f(x)$图象的对称轴方程为$x = \frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$
D. $f(x)$在$[0,2\pi]$上有4个零点

答案：
ACD[$f(x)=\frac{1+\cos(2x-\frac{\pi}{3})}{2}-\cos2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x)-\cos2x=\frac{\sqrt{3}}{4}\sin2x-\frac{3}{4}\cos2x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x-\frac{\pi}{3})+\frac{1}{2}$，则$f(x)$的最小正周期为$\pi$，A正确；易知$f(x)$图象的对称中心的纵坐标为$\frac{1}{2}$，B错误；令$2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in\mathbf{Z})$，得$x=\frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$，即为$f(x)$图象的对称轴方程，C正确；由$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x-\frac{\pi}{3})+\frac{1}{2}=0$，得$\sin(2x-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，当$x\in[0,2\pi]$时，$2x-\frac{\pi}{3}\in[-\frac{\pi}{3},\frac{11\pi}{3}]$，作出函数$y = \sin x(x\in[-\frac{\pi}{3},\frac{11\pi}{3}])$的图象，如图所示. 由图可知方程$\sin(2x-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{3}$在$[0,2\pi]$上有4个不同的实根，即$f(x)$在$[0,2\pi]$上有4个零点，D正确.]

【巩固迁移】
7.（多选）（2024·九省联考）已知函数$f(x)=\sin(2x+\frac{3\pi}{4})+\cos(2x+\frac{3\pi}{4})$，则（ ）
A. 函数$f(x-\frac{\pi}{4})$为偶函数
B. 曲线$y = f(x)$的对称轴为直线$x = k\pi,k\in\mathbf{Z}$
C. $f(x)$在区间$(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2})$单调递增
D. $f(x)$的最小值为$-2$

答案： AC[$f(x)=\sin(2x+\frac{3\pi}{4})+\cos(2x+\frac{3\pi}{4})=\sin2x\cos\frac{3\pi}{4}+\sin\frac{3\pi}{4}\cos2x+\cos2x\cos\frac{3\pi}{4}-\sin2x\sin\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin2x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos2x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos2x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin2x=-\sqrt{2}\sin2x$，即$f(x)=-\sqrt{2}\sin2x$. 对于A，$f(x-\frac{\pi}{4})=-\sqrt{2}\sin(2x-\frac{\pi}{2})=\sqrt{2}\cos2x$，易知为偶函数，故A正确；对于B，令$2x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$，则$x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，故B错误；对于C，当$x\in(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2})$时，$2x\in(\frac{2\pi}{3},\pi)$，$y = \sin2x$单调递减，则$f(x)=-\sqrt{2}\sin2x$单调递增，故C正确；对于D，因为$\sin2x\in[-1,1]$，所以$f(x)\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$，故D错误. 故选AC.]