《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

（2）已知函数$f(x)=\sin(\omega x-\frac{\pi}{6})(\omega＞0)$，若函数$f(x)$在区间$(0,\pi)$上有且只有两个零点，则$\omega$的取值范围为________.

答案： 答案$(\frac{7}{6},\frac{13}{6}]$
解析由$x\in(0,\pi)$可得$\omega x-\frac{\pi}{6}\in(-\frac{\pi}{6},\omega\pi-\frac{\pi}{6})$。若函数$f(x)$在区间$(0,\pi)$上有且只有两个零点，则$\pi\lt\omega\pi-\frac{\pi}{6}\leqslant2\pi$，解得$\frac{7}{6}\lt\omega\leqslant\frac{13}{6}$。故$\omega$的取值范围为$(\frac{7}{6},\frac{13}{6}]$。

[巩固迁移]
3.（多选）（2023·黑龙江佳木斯一中模拟）已知函数$f(x)=\sin(2x+\varphi)+1(|\varphi|＜\frac{\pi}{2})$的图象向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度后关于直线$x = 0$对称，则下列说法正确的是（ ）
A. $f(x)$在区间$[\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]$上有一个零点
B. $f(x)$的图象关于点$(\frac{\pi}{12},0)$对称
C. $f(x)$在区间$[\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}]$上单调递增
D. $f(x)$在区间$[\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{4}]$上的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}+1$

答案：
AD[函数$f(x)=\sin(2x+\varphi)+1(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})$的图象向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度后的图象对应的解析式为$g(x)=\sin[2(x+\frac{\pi}{3})+\varphi]+1=\sin(2x+\frac{2\pi}{3}+\varphi)+1$，又$g(x)$的图象关于直线$x = 0$对称，且$|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}$，所以$\frac{2\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2},\varphi=\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}$，所以$f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{6})+1$，因为$f(\frac{\pi}{12})\neq0$，所以$f(x)$的图象不关于点$(\frac{\pi}{12},0)$对称，故B错误；当$\frac{\pi}{3}\leqslant x\leqslant\frac{4\pi}{3}$时，$\frac{\pi}{2}\leqslant2x-\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{5\pi}{2}$，令$t = 2x-\frac{\pi}{6}$，则$f(x)$在$[\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]$的零点个数可转化为$y = \sin t+1$在$t\in[\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2}]$的零点个数，

结合图象可知，当$\frac{\pi}{2}\leqslant t\leqslant\frac{5\pi}{2}$时，$y = \sin t+1$的图象与$x$轴只有一个交点，即$f(x)$在$[\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]$上只有一个零点，故A正确；当$\frac{\pi}{12}\leqslant x\leqslant\frac{5\pi}{12}$时，$0\leqslant2x-\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{2\pi}{3}$，结合图象可知，此时$f(x)$有增有减，故C错误；当$\frac{\pi}{12}\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{4}$时，$0\leqslant2x-\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{\pi}{3}$，结合图象可知，此时$f(x)$单调递增，所以当$x=\frac{\pi}{4}$时，函数取最大值，为$f(\frac{\pi}{4})=\sin\frac{\pi}{3}+1=\frac{\sqrt{3}}{2}+1$，故D正确。故选AD。]

例4　如图，点$A,B$分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点$A$从初始位置$A_0(\cos\frac{\pi}{3},\sin\frac{\pi}{3})$开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点$B$从初始位置$B_0(2,0)$开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动.记$t$时刻，点$A,B$的纵坐标分别为$y_1,y_2$.

（1）求$t = \frac{\pi}{4}$时，$A,B$两点间的距离；
（2）若$y = y_1 + y_2$，求$y$关于时间$t(t＞0)$的函数关系式，并求当$t\in(0,\frac{\pi}{2}]$时，$y$的取值范围.

答案： 解
(1)连接$AB,OA,OB$（图略），
当$t=\frac{\pi}{4}$时，$\angle xOA=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6},\angle xOB=\frac{\pi}{2}$，
所以$\angle AOB=\frac{2\pi}{3}$。
又$OA = 1,OB = 2$，
所以$AB^{2}=1^{2}+2^{2}-2\times1\times2\cos\frac{2\pi}{3}=7$，
即$A,B$两点间的距离为$\sqrt{7}$。
(2)依题意，$y_{1}=\sin(2t+\frac{\pi}{3}),y_{2}=-2\sin2t$，
所以$y=\sin(2t+\frac{\pi}{3})-2\sin2t=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2t-\frac{3}{2}\sin2t=\sqrt{3}\cos(2t+\frac{\pi}{3})$，
即函数关系式为$y=\sqrt{3}\cos(2t+\frac{\pi}{3})(t\gt0)$，
当$t\in(0,\frac{\pi}{2}]$时，$2t+\frac{\pi}{3}\in(\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]$，
所以$\cos(2t+\frac{\pi}{3})\in[-1,\frac{1}{2})$，
故当$t\in(0,\frac{\pi}{2}]$时，$y\in[-\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{2})$。

[巩固迁移]
4.（多选）（2024·西南大学附中模拟）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为$R$的水车，一个水斗从点$A(3,-3\sqrt{3})$出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过$t$秒后，水斗旋转到点$P$，设点$P$的坐标为$(x,y)$，其纵坐标满足$y = f(t)=R\sin(\omega t+\varphi)(t\geqslant0,\omega＞0,|\varphi|＜\frac{\pi}{2})$，则下列叙述正确的是（ ）

A. 水斗做周期运动的初相为$-\frac{\pi}{3}$
B. 在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加
C. 在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是$3\sqrt{3}$
D. 当水斗旋转100秒时，其和初始点$A$的距离为6

答案： AD[对于A，由$A(3,-3\sqrt{3})$，知$R=\sqrt{3^{2}+(-3\sqrt{3})^{2}}=6,T = 120$，所以$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{60}$。当$t = 0$时，点$P$在点$A$位置，有$-3\sqrt{3}=6\sin\varphi$，解得$\sin\varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，又$|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}$，所以$\varphi=-\frac{\pi}{3}$，故A正确；对于B，由A项可知$f(t)=6\sin(\frac{\pi}{60}t-\frac{\pi}{3})$，当$t\in(0,60]$时，$\frac{\pi}{60}t-\frac{\pi}{3}\in(-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$，所以函数$f(t)$先增后减，故B错误；对于C，当$t\in(0,60]$时，$\frac{\pi}{60}t-\frac{\pi}{3}\in(-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$，$\sin(\frac{\pi}{60}t-\frac{\pi}{3})\in(-\frac{\sqrt{3}}{2},1]$，所以点$P$到$x$轴的距离的最大值为6，故C错误；对于D，当$t = 100$时，$\frac{\pi}{60}t-\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$，点$P$的纵坐标为$y=-3\sqrt{3}$，横坐标为$x=-3$，所以$|PA|=|-3 - 3|=6$，故D正确。]