《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

(2)已知$M(x_{0},y_{0})$是双曲线$C:\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$上的一点，$F_{1}$，$F_{2}$是$C$的两个焦点，若$\overrightarrow{MF_{1}}\cdot\overrightarrow{MF_{2}}＜0$，则$y_{0}$的取值范围是________.

答案： $(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})$

【巩固迁移】
12. 已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，双曲线上的点到焦点的最小距离为$\sqrt{10}-3$，则双曲线上的点到点$A(5,0)$的最小距离为 （ ）
A. 1
B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$
C. 2
D. $\sqrt{6}$

答案： B

必备知识　　　强基础
知识梳理
1. 直线与双曲线的位置关系
将直线的方程$y = kx + m$与双曲线的方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$联立组成方程组，消元转化为关于$x$的方程$(b^{2}-a^{2}k^{2})x^{2}-2a^{2}mkx - a^{2}m^{2}-a^{2}b^{2}=0$.
(1)若$b^{2}-a^{2}k^{2}=0(m\neq0)$，即$k = \pm\frac{b}{a}$时，直线与双曲线的渐近线________，直线与双曲线________.

答案： ①平行 ②相交于一点

①$\Delta＞0\Leftrightarrow$直线和双曲线相交$\Leftrightarrow$直线和双曲线有两个交点；

答案：

②$\Delta=0\Leftrightarrow$直线和双曲线相切$\Leftrightarrow$直线和双曲线有一个公共点；

答案：

③$\Delta＜0\Leftrightarrow$直线和双曲线相离$\Leftrightarrow$直线和双曲线无公共点.

答案：