《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

2. 小题热身
（1）如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB = 45°，∠CAB = 105°后，就可以计算出A，B两点间的距离为（ ）
A. 50$\sqrt{2}$ m
B. 50$\sqrt{3}$ m
C. 25$\sqrt{2}$ m
D. $\frac{25\sqrt{2}}{2}$ m

答案： A [在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{AC}{sin∠CBA}$，又∠CBA = 180° - 45° - 105° = 30°，所以$AB=\frac{ACsin∠ACB}{sin∠CBA}=\frac{50×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 50\sqrt{2}(m)$. 故选A.]

（2）（人教A必修第二册6.4.3例10改编）如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为（ ）
A. (30$\sqrt{3}$ + 30) m
B. (15$\sqrt{3}$ + 30) m
C. (30$\sqrt{3}$ + 15) m
D. (15$\sqrt{3}$ + 15) m

答案： A [在△ABP中，∠APB = 45° - 30°，所以$sin∠APB = sin(45° - 30°)=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，由正弦定理得$PB=\frac{ABsin30°}{sin∠APB}=\frac{60×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}} = 30(\sqrt{6}+\sqrt{2})$，所以该树的高度为$30(\sqrt{6}+\sqrt{2})sin45° = 30\sqrt{3}+30(m)$. 故选A.]

（3）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD. 已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min. 若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为______ m.

答案：
答案 50$\sqrt{7}$
解析 连接OC，在△OCD中，OD = 100，CD = 150，∠CDO = 60°，由余弦定理可得$OC² = 100² + 150² - 2×100×150×\frac{1}{2}=17500$，解得$OC = 50\sqrt{7}$. 则该扇形的半径为$50\sqrt{7}m$.

考点一 测量距离问题
例1 （2024·重庆模拟）一个骑行爱好者从A地出发，向西骑行了2 km到达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行了2$\sqrt{3}$ km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D地，则A地到D地的直线距离是（ ）
A. 8 km
B. 3$\sqrt{7}$ km
C. 3$\sqrt{3}$ km
D. 5 km
[课堂笔记]
______________________________

答案：
B [如图，在△ABC中，∠ABC = 150°，AB = 2，BC = 2$\sqrt{3}$，依题意，∠BCD = 90°，在△ABC中，由余弦定理$AC=\sqrt{AB² + BC² - 2AB·BCcos∠ABC}=\sqrt{4 + 12 + 8\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{7}$，由正弦定理得$sin∠ACB=\frac{ABsin∠ABC}{AC}=\frac{\sqrt{7}}{14}$，在△ACD中，$cos∠ACD = cos(90° + ∠ACB)= - sin∠ACB=-\frac{\sqrt{7}}{14}$，由余弦定理得$AD=\sqrt{AC² + CD² - 2AC·CDcos∠ACD}=\sqrt{28 + 25 + 2×2\sqrt{7}×5×\frac{\sqrt{7}}{14}} = 3\sqrt{7}$. 所以A地到D地的直线距离是$3\sqrt{7}km$. 故选B.]

【巩固迁移】
1. 已知某渔船在渔港O的南偏东60°方向，距离渔港约160海里的B处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机A接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在C处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救. 若海事巡逻飞机测得渔船B的俯角为68.20°，测得渔政船C的俯角为63.43°，且渔政船位于渔船的北偏东60°方向上.
（1）计算渔政船C与渔港O的距离；
（2）若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？
（参考数据：sin68.20°≈0.93，tan68.20°≈2.50，sin63.43°≈0.89，tan63.43°≈2.00，$\sqrt{11}$≈3.32，$\sqrt{13}$≈3.61）

答案： 解
(1)
∵AO⊥OB，∠OBA = 68.20°，OB = 160，
∴AO = OBtan∠OBA≈160×2.50 = 400，
∵AO⊥OC，∠OCA = 63.43°，
∴$OC=\frac{OA}{tan63.43°}≈\frac{400}{2.00}=200$.即渔政船C与渔港O的距离为200海里.
(2)由题意知∠OBC = 60° + 60° = 120°，在△OBC中，由余弦定理得$OC² = OB² + BC² - 2OB·BCcos∠OBC$，即$40000 = 25600 + BC² + 160BC$，解得$BC = - 80 - 40\sqrt{13}$(舍去)或$BC = - 80 + 40\sqrt{13}$，即$BC≈ - 80 + 40×3.61 = 64.4$，
∵$\frac{64.4}{25}=2.576＜3$，
∴渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能在3小时内赶到出事地点.