《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

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4.(多选)(2024·河北沧州部分学校高三联考)命题$p:\exists x\in(0,2)$，$x^{3}＞x^{6}$；命题$q$：每个大于2的素数都是奇数.关于这两个命题，下列判断正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $p$是真命题
B. $\neg p:\forall x\in(0,2)$，$x^{3}＜x^{6}$
C. $q$是真命题
D. $\neg q$：存在一个大于2的素数不是奇数

答案： ACD　[若$x=\frac{1}{2}$，则$x^{3}＞x^{6}$，所以$p$是真命题，A正确；$\neg p:\forall x\in(0,2),x^{3}\leqslant x^{6}$，B错误；每个大于2的素数都是奇数，$q$是真命题，C正确；$\neg q$：存在一个大于2的素数不是奇数，D正确. 故选ACD.]

5.(2024·湖北部分学校高三联考)已知$p:\exists m\in\{m|-2＜m＜3\}$，使关于$x$的方程$2x^{2}-m = 0$有解，则$\neg p$：________.

答案： 答案　$\forall m\in\{m|-2＜m＜3\}$，使关于$x$的方程$2x^{2}-m = 0$无解
　解析　根据存在量词命题的否定为全称量词命题，可得$\neg p$：$\forall m\in\{m|-2＜m＜3\}$，使关于$x$的方程$2x^{2}-m = 0$无解.

例4　　(1)已知$p:\forall x\in[3,4)$，$x^{2}-a\geqslant0$，则$p$成立的一个充分不必要条件可以是　　　(　　　)
A. $a＜9$
B. $a＞9$
C. $a＜16$
D. $a＞16$

答案： A　[若$p$为真命题，则$a\leqslant x^{2}$在区间$[3,4]$上恒成立，所以$a\leqslant9$，所以$p$成立的一个充分不必要条件可以是$a＜9$. 故选A.]

(2)(2024·山东聊城一中高三期中)若命题“$\exists x\in\mathbf{R}$，$x^{2}+2ax + 2 - a = 0$”是假命题，则实数$a$的取值范围是________.

答案： 答案　$(-2,1)$
　解析　因为命题“$\exists x\in\mathbf{R},x^{2}+2ax + 2 - a = 0$”是假命题，所以命题“$\forall x\in\mathbf{R},x^{2}+2ax + 2 - a\neq0$”是真命题，所以$\Delta=4a^{2}-4(2 - a)＜0$，即$a^{2}+a - 2＜0$，所以$-2＜a＜1$.

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6. 若命题“$\forall x\in[1,4]$，$x^{2}-4x - m\neq0$”是假命题，则$m$的取值范围是　　　　　　　　(　　　)
A. $[-4,-3]$
B. $(-\infty,-4)$
C. $[-4,+\infty)$
D. $[-4,0]$

答案： D[若“$\forall x\in[1,4],x^{2}-4x - m\neq0$”是假命题，则“$\exists x\in[1,4],x^{2}-4x - m = 0$”是真命题，即$m=x^{2}-4x$，设$y=x^{2}-4x=(x - 2)^{2}-4$，因为$y=x^{2}-4x$在$[1,2)$上单调递减，在$(2,4]$上单调递增，所以当$x = 2$时，$y_{\min}=-4$；当$x = 4$时，$y_{\max}=0$，故当$1\leqslant x\leqslant4$时，$-4\leqslant y\leqslant0$，则$-4\leqslant m\leqslant0$.]

7. 已知命题$p:\exists x＞0$，$x + a - 1 = 0$，若$p$为假命题，则$a$的取值范围是_______.

答案： 答案　$[1,+\infty)$
解析　因为$p$为假命题，所以命题$p$的否定：$\forall x＞0,x + a - 1\neq0$是真命题，所以$x\neq1 - a$，所以$1 - a\leqslant0$，所以$a\geqslant1$.