《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

【巩固迁移】
5.已知函数y = f(x)是定义域为R的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x + $\frac{a}{x}$ + 1. 若函数y = f(x)在[1,+∞)上的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： D [因为y＝f(x)是定义域为R的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x+$\frac{a}{x}$+1．当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－x－$\frac{a}{x}$+1＝－f(x)，所以当x＞0时，f(x)＝x+$\frac{a}{x}$－1，此时f′(x)＝1－$\frac{a}{x^{2}}$．当a≤1时，f′(x)＝1－$\frac{a}{x^{2}}$≥0在[1，＋∞)上恒成立，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，当x＝1时，函数f(x)取得最小值f
(1)＝1＋a－1＝3，解得a＝3(舍去)；当a＞1时，当x∈[1，$\sqrt{a}$]时，f′(x)≤0，函数f(x)单调递减；当x∈[$\sqrt{a}$，＋∞)时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增，故当x＝$\sqrt{a}$时，函数f(x)取得最小值f($\sqrt{a}$)＝2$\sqrt{a}$－1＝3，解得a＝4．综上，a＝4．故选D.]

例6 (2023·山东烟台高三上学期期末)某工厂拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为$\frac{160\pi}{3}$立方米，且l≥6r. 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为m(m＞2.25)千元. 设该容器的建造费用为y千元.
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.

[课堂笔记] ______________________________

答案： 解
(1)设该容器的体积为V，则V＝πr²l+$\frac{2}{3}$πr³，
又V＝$\frac{160\pi}{3}$，所以l＝$\frac{160}{3r^{2}}$－$\frac{2}{3}$r．因为l≥6r，所以0＜r≤2．
所以建造费用y＝2πrl×$\frac{9}{4}$+3πr²m＝2πr($\frac{160}{3r^{2}}$－$\frac{2}{3}$r)×$\frac{9}{4}$+3πr²m，
因此y＝3π(m－1)r²+$\frac{240\pi}{r}$，0＜r≤2．
(2)由
(1)得y′＝6π(m－1)r－$\frac{240\pi}{r^{2}}$＝$\frac{6\pi(m - 1)}{r^{2}}$(r³－$\frac{40}{m - 1}$)，0＜r≤2．
由于m＞$\frac{9}{4}$，所以m－1＞0，
令r³－$\frac{40}{m - 1}$＝0，得r＝$\sqrt[3]{\frac{40}{m - 1}}$．
若$\sqrt[3]{\frac{40}{m - 1}}$＜2，即m＞6，当r∈(0，$\sqrt[3]{\frac{40}{m - 1}}$)时，y′＜0，y(r)为减函数，当r∈($\sqrt[3]{\frac{40}{m - 1}}$，2)时，y′＞0，y(r)为增函数，此时r＝$\sqrt[3]{\frac{40}{m - 1}}$为函数y(r)的极小值点，也是最小值点．
若$\sqrt[3]{\frac{40}{m - 1}}$≥2，即$\frac{9}{4}$＜m≤6，当r∈(0，2]时，y′≤0，y(r)为减函数，此时r＝2是y(r)的最小值点．
综上所述，当$\frac{9}{4}$＜m≤6时，建造费用最小时r＝2；当m＞6时，建造费用最小时r＝$\sqrt[3]{\frac{40}{m - 1}}$．

【巩固迁移】
6.(2023·山东德州模拟)高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，促进了区域经济和社会发展. 已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，t∈N*. 经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当10≤t≤20时，高铁为满载状态，载客量为1200人；当2≤t＜10时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与(10 - t)²成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为950人. 设发车间隔为t分钟时，高铁载客量为P(t)人.
(1)求P(t)的表达式；
(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)=$\frac{t}{5}$P(t) - 40t² + 660t - 2048元，当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益$\frac{Q(t)}{t}$最大？最大为多少？

答案： 解
(1)当2≤t＜10时，减少的人数与(10－t)²成正比，设比例系数为k，
所以P(t)＝1200－k(10－t)²，2≤t＜10，
当t＝5时，P
(5)＝950，即1200－k(10－5)²＝950，
解得k＝10，
所以P(t)＝$\begin{cases}1200 - 10(10 - t)^{2},2\leq t＜10, \\1200,10\leq t\leq20.\end{cases}$
(2)由题意可得
Q(t)＝$\begin{cases}700t - 2048 - 2t^{2},2\leq t＜10, \\900t - 40t^{2}-2048,10\leq t\leq20.\end{cases}$
所以$\frac{Q(t)}{t}$＝$\begin{cases}700 - 2t-\frac{2048}{t},2\leq t＜10, \\900 - 40t-\frac{2048}{t},10\leq t\leq20.\end{cases}$
令H(t)＝$\frac{Q(t)}{t}$，当2≤t＜10时，H′(t)＝－4t+$\frac{2048}{t^{2}}$＝$\frac{2048 - 4t^{2}}{t^{2}}$，
令H′(t)＝0，得t＝8．
当2≤t＜8时，H′(t)＞0，当8＜t＜10时，H′(t)＜0，
所以H(t)的最大值为H
(8)＝316，
当10≤t≤20时，H′(t)＝－40+$\frac{2048}{t^{2}}$＜0，
所以H(t)的最大值为H
(10)＝295.2，
因为295.2＜316，所以当t＝8时，单位时间的净收益最大，为316元．
综上，当发车时间间隔为8分钟时，单位时间的净收益最大，为316元．