《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) $\vert\boldsymbol{a}\vert$与$\vert\boldsymbol{b}\vert$是否相等，与$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的方向无关. （ ）
(2) 若向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$同向，且$\vert\boldsymbol{a}\vert＞\vert\boldsymbol{b}\vert$，则$\boldsymbol{a}＞\boldsymbol{b}$. （ ）
(3) 若向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{CD}$是共线向量，则$A,B,C,D$四点在一条直线上. （ ）
(4) 起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量. （ ）

答案： 1.
(1)√
(2)×
(3)×
(4)√

2. 小题热身
(1) 如图，$D,E,F$分别是$\triangle ABC$各边的中点，则下列结论错误的是 （ ）

A. $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CD}$
B. $\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{DE}$共线
C. $\overrightarrow{BD}$与$\overrightarrow{CD}$是相反向量
D. $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{AC}\vert$

答案：
(1)D $[\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$,故 D 错误. 故选 D.]

(2)（人教B必修第二册6.2.1例3改编）设向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$不共线，向量$\lambda\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$共线，则实数$\lambda =$______.

答案：
(2)答案 $\frac{1}{2}$
解析 $\because\lambda a + b$与$a + 2b$共线,$\therefore$存在实数$\mu$使得$\lambda a + b=\mu(a + 2b)$,$\therefore\begin{cases}\lambda=\mu,\\1 = 2\mu,\end{cases}$ $\therefore\begin{cases}\lambda=\frac{1}{2},\\\mu=\frac{1}{2}.\end{cases}$

(3)（人教A必修第二册6.2例6改编）已知$\square ABCD$的对角线$AC$和$BD$交于点$O$，且$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，则$\overrightarrow{DC}=$______，$\overrightarrow{BC}=$______.（用$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$表示）

答案：

(3)答案 $b - a$ $-a - b$
解析 如图,$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=b - a$,$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=-a - b$.

(4)（人教A必修第二册习题6.2 T10改编）若$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$\vert\boldsymbol{a}\vert = 3,\vert\boldsymbol{b}\vert = 5$，则$\vert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\vert$的最大值为______，最小值为______.

答案：
(4)答案 8 2
解析 $|a + b|\leq|a|+|b|=3 + 5 = 8$,当且仅当$a,b$同向时取等号,所以$|a + b|_{\max}=8$. 又$|a + b|\geq||a|-|b||=|3 - 5|=2$,当且仅当$a,b$反向时取等号,所以$|a + b|_{\min}=2$.

例1　　(多选)下列命题中的真命题是　　(　　　)
A. 若$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$，则$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$
B. 若$A$，$B$，$C$，$D$是不共线的四点，则“$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$”是“四边形$ABCD$为平行四边形”的充要条件
C. 若$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$，则$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{c}$
D. $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$的充要条件是$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$且$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$

答案： BC [A是假命题，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；B是真命题，
∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，
∴$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{DC}|$且$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{DC}$，又A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{DC}|$，$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{DC}$且$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DC}$方向相同，因此$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$；C是真命题，
∵$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$，
∴$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的长度相等且方向相同，又$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$，
∴$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$的长度相等且方向相同，
∴$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{c}$的长度相等且方向相同，故$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{c}$；D是假命题，当$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$且方向相反时，即使$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$，也不能得到$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$，故$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$且$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$不是$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$的充要条件，而是必要不充分条件. 故选BC.]