《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

【巩固迁移】
1.(2024·浙江绍兴诸暨高三联考)已知集合$M = \{ x|0\leqslant x ＜ 2\},N = \{ x|-x^{2} + 2x + 3 ＞ 0\}$,则$M\cap N =$ （ ）
A. $\{ x|0\leqslant x ＜ 1\}$
B. $\{ x|0\leqslant x ＜ 2\}$
C. $\{ x|0\leqslant x\leqslant 1\}$
D. $\{ x|0\leqslant x\leqslant 2\}$

答案： B　[因为$N = \{ x\mid - x^{2} + 2x + 3 ＞ 0\} = \{ x\mid x^{2} - 2x - 3 ＜ 0\} = \{ x\mid - 1 ＜ x ＜ 3\}$，$M = \{ x\mid 0\leqslant x ＜ 2\}$，所以$M\cap N = \{ x\mid 0\leqslant x ＜ 2\}$. 故选B.]

考向2　含参数的一元二次不等式的解法
例2　　解关于$x$的不等式$ax^{2} - (a + 1)x + 1 ＜ 0$（$a\in R$）.
[课堂笔记]　______________________________

答案： 解　原不等式可化为$(ax - 1)(x - 1) ＜ 0$，
当$a ＞ 0$时，有$\left(x-\dfrac{1}{a}\right)(x - 1) ＜ 0$，
所以当$a ＞ 1$时，解得$\dfrac{1}{a} ＜ x ＜ 1$；
当$a = 1$时，解集为$\varnothing$；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，解得$1 ＜ x ＜ \dfrac{1}{a}$；
当$a = 0$时，原不等式等价于$-x + 1 ＜ 0$，即$x ＞ 1$；
当$a ＜ 0$时，$\dfrac{1}{a} ＜ 1$，原不等式可化为$\left(x-\dfrac{1}{a}\right)(x - 1) ＞ 0$，
解得$x ＞ 1$或$x ＜ \dfrac{1}{a}$.
综上，当$0 ＜ a ＜ 1$时，原不等式的解集为$\left\{x\mid 1 ＜ x ＜ \dfrac{1}{a}\right\}$；
当$a = 1$时，原不等式的解集为$\varnothing$；
当$a ＞ 1$时，原不等式的解集为$\left\{x\mid \dfrac{1}{a} ＜ x ＜ 1\right\}$；
当$a = 0$时，原不等式的解集为$\{ x\mid x ＞ 1\}$；
当$a ＜ 0$时，原不等式的解集为$\left\{x\mid x ＜ \dfrac{1}{a}或x ＞ 1\right\}$.

【巩固迁移】
2.(2024·山东潍坊一中高三上期中)若关于$x$的不等式$(a^{2} - 4)x^{2} + (a + 2)x - 1\geqslant 0$的解集不为空集，则实数$a$的取值范围为________.

答案： 答案　$(-\infty,-2)\cup\left[\dfrac{6}{5},+\infty\right)$
解析　根据题意，分两种情况讨论：①当$a^{2}-4 = 0$，即$a = \pm 2$时，若$a = 2$，则原不等式为$4x - 1\geqslant 0$，解得$x\geqslant\dfrac{1}{4}$，故不等式的解集为$\left\{x\mid x\geqslant\dfrac{1}{4}\right\}$，不是空集；若$a = - 2$，则原不等式为$-1\geqslant 0$，无解，不符合题意；②当$a^{2}-4\neq 0$，即$a\neq\pm 2$时，若$(a^{2}-4)x^{2}+(a + 2)x - 1\geqslant 0$的解集是空集，则有$\begin{cases}a^{2}-4 ＜ 0,\\\Delta=(a + 2)^{2}+4(a^{2}-4) ＜ 0,\end{cases}$解得$-2 ＜ a ＜ \dfrac{6}{5}$，所以当不等式$(a^{2}-4)x^{2}+(a + 2)x - 1\geqslant 0$的解集不为空集时，有$a ＜ - 2$或$a\geqslant\dfrac{6}{5}$且$a\neq 2$. 综上可得，实数$a$的取值范围为$(-\infty,-2)\cup\left[\dfrac{6}{5},+\infty\right)$.

考向3　可化为一元二次不等式的分式不等式的解法
例3　　若集合$A = \{ x|-x^{2} - x + 6 ＞ 0\},B = \{ x|\frac{5}{x - 3}\leqslant -1\}$,则$A\cap B =$ （ ）
A. $(-3,3)$ B. $[-2,3)$
C. $(-2,2)$ D. $[-2,2)$
[课堂笔记]　______________________________

答案： D　[将$-x^{2}-x + 6 ＞ 0$化为$x^{2}+x - 6 ＜ 0$，解得$-3 ＜ x ＜ 2$，则$A = (-3,2)$. 由$\dfrac{5}{x - 3}\leqslant - 1$得$\dfrac{x + 2}{x - 3}\leqslant 0$，即$\begin{cases}(x + 2)(x - 3)\leqslant 0,\\x - 3\neq 0,\end{cases}$解得$-2\leqslant x ＜ 3$，则$B = [-2,3)$，所以$A\cap B = [-2,2)$. 故选D.]