《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

2. 小题热身
(1) 已知幂函数$f(x)$的图象过点$(2,\frac{1}{2})$，则$f(4)$的值是（ ）
A. 64
B. $4\sqrt{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{4}$
D. $\frac{1}{4}$

答案：
(1)D

(2) （北师大版必修第一册 1.4.2 例 4 改编）若一次函数$y = ax + b$的图象经过第二、三、四象限，则二次函数$y = ax^{2}+bx$的图象可能是（ ）

答案：
(2)C [因为一次函数$y = ax + b$的图象经过第二、三、四象限，所以$a\lt0,b\lt0$，所以二次函数$y = ax^{2} + bx$的图象开口向下，对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a}\lt0$，且过原点. 故选 C.]

(3) 已知$\alpha\in\{ - 2,-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,2\}$，若幂函数$f(x)=x^{\alpha}$为奇函数，且在$(0, +\infty)$上单调递增，则$\alpha =$_______.

答案：
(3)答案 1
解析 由$y = x^{\alpha}$为奇函数，知$\alpha$取$-1,1$，又$y = x^{\alpha}$在$(0, +\infty)$上单调递增，$\therefore\alpha\gt0$，$\therefore\alpha = 1$.

(4) （人教 B 必修第二册 4.4 例 1 改编）已知$a = 0.4^{0.3}$，$b = 0.3^{0.3}$，$c = 0.3^{0.4}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系是_______（用“＜”连接）.

答案：
(4)答案 $c\lt b\lt a$
解析 由指数函数、幂函数的单调性可知，$0.3^{0.4}\lt0.3^{0.3}$，$0.4^{0.3}\gt0.3^{0.3}$，即$c\lt b\lt a$.

例1　　(1)若幂函数$y = x^{-1},y = x^{m}$与$y = x^{n}$在第一象限内的图象如图所示，则$m$与$n$的取值情况为 （ ）

A. $-1 ＜ m ＜ 0 ＜ n ＜ 1$
B. $-1 ＜ n ＜ 0 ＜ m ＜ \frac{1}{2}$
C. $-1 ＜ m ＜ 0 ＜ n ＜ \frac{1}{2}$
D. $-1 ＜ n ＜ 0 ＜ m ＜ 1$

答案： D［幂函数$y = x^{\alpha}$，当$\alpha＞0$时，$y = x^{\alpha}$在$(0,+\infty)$上单调递增，且$0＜\alpha＜1$时，图象上凸，$\therefore0＜m＜1$。当$\alpha＜0$时，$y = x^{\alpha}$在$(0,+\infty)$上单调递减。不妨令$x = 2$，由图象得$2^{-1}＜2^{n}$，则$-1 ＜ n ＜ 0$。综上，$-1 ＜ n ＜ 0 ＜ m ＜ 1$。故选D。］

(2)（2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测）若幂函数$f(x)=(m^{2}-2m - 2)x^{-m^{2}+m + 3}$在$(0,+\infty)$上是减函数，则实数$m =$_______.

答案： 答案 3
解析 因为幂函数$f(x)=(m^{2}-2m - 2)x^{-m^{2}+m + 3}$在$(0,+\infty)$上是减函数，所以$\begin{cases}m^{2}-2m - 2 = 1\\-m^{2}+m + 3 ＜ 0\end{cases}$。由$m^{2}-2m - 2 = 1$，得$m = -1$或$m = 3$。当$m = -1$时，$-m^{2}+m + 3 = -1 - 1 + 3 = 1＞0$，所以$m = -1$舍去；当$m = 3$时，$-m^{2}+m + 3 = -9 + 3 + 3 = -3 ＜ 0$，符合题意。综上，$m = 3$。

[巩固迁移]
1.（2023·皖淮联考）已知$a = 2\ln 2,b = 3^{-0.5},c = 2^{-0.4}$，则 （ ）
A. $a ＞ b ＞ c$
B. $a ＞ c ＞ b$
C. $c ＞ a ＞ b$
D. $c ＞ b ＞ a$

答案： B［因为$2\ln2=\ln4＞\ln e = 1$，$3^{-0.5}＜3^{-0.4}＜2^{-0.4}＜1$，所以$a ＞ c ＞ b$。故选B。］

2.（2023·江苏南京高三二模）幂函数$f(x)=x^{\alpha}(\alpha\in\mathbf{R})$满足：对任意$x\in\mathbf{R}$有$f(-x)=f(x)$，且$f(-1) ＜ f(2) ＜ 2$.写出符合上述条件的一个函数：$f(x)=$_______.

答案： 答案$x^{\frac{2}{3}}$（答案不唯一）
解析 取$f(x)=x^{\frac{2}{3}}$，则定义域为$\mathbf{R}$，且$f(-x)=(-x)^{\frac{2}{3}}=x^{\frac{2}{3}}=f(x)$，$f(-1)=1$，$f(2)=2^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{4}$，满足$f(-1)＜f(2)＜2$。故$f(x)=x^{\frac{2}{3}}$满足题意。

例2　　已知二次函数$f(x)$满足$f(2)= - 1,f(-1)= - 1$，且$f(x)$的最大值是8，则$f(x)=$_______.

答案： 答案$-4x^{2}+4x + 7$
解析 解法一（利用“一般式”）：设$f(x)=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$。
由题意得$\begin{cases}4a + 2b + c = -1\\a - b + c = -1\\\frac{4ac - b^{2}}{4a}=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -4\\b = 4\\c = 7\end{cases}$，$\therefore$所求二次函数的解析式为$f(x)=-4x^{2}+4x + 7$。
解法二（利用“顶点式”）：设$f(x)=a(x - m)^{2}+n(a\neq0)$。
$\because f(2)=f(-1)$，$\therefore$函数图象的对称轴为直线$x=\frac{2+( - 1)}{2}=\frac{1}{2}$，$\therefore m=\frac{1}{2}$。又函数有最大值$8$，$\therefore n = 8$，$\therefore y = f(x)=a(x-\frac{1}{2})^{2}+8$。$\because f(2)=-1$，$\therefore a(2-\frac{1}{2})^{2}+8=-1$，解得$a = -4$，$\therefore f(x)=-4(x-\frac{1}{2})^{2}+8=-4x^{2}+4x + 7$。
解法三（利用“两根式”）：由已知得$f(x)+1 = 0$的两根为$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$，故可设$f(x)+1=a(x - 2)(x + 1)(a\neq0)$，即$f(x)=ax^{2}-ax - 2a - 1$。又函数有最大值$8$，即$\frac{4a(-2a - 1)-(-a)^{2}}{4a}=8$，解得$a = -4$。$\therefore$所求函数的解析式为$f(x)=-4x^{2}+4x + 7$。