《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例5 （1）（2024·福建三明高三模拟）已知函数$f(x)=\begin{cases}3^{x},x\leqslant 0,\\ \log_{3}x,x\gt 0,\end{cases}$则$f(f(-2))=$________.

答案： 答案　$-2$
解析　$f(f(-2))=f(3^{-2})=\log_33^{-2}=-2$.

（2）已知函数$f(x)=\begin{cases}2^{x}-1,x\leqslant 0,\\ x^{\frac{1}{3}},x\gt 0,\end{cases}$若$f(m)=3$，则$m =$________.

答案： 答案　$9$
解析　由题意可知$\begin{cases}2^m - 1=3\\m\leq0\end{cases}$或$\begin{cases}m^{\frac{1}{2}}=3\\m＞0\end{cases}$，解得$m = 9$.

11. 已知$f(x)=\begin{cases}x + 3,x\leqslant 0,\\ \sqrt{x},x\gt 0,\end{cases}$若$f(a - 3)=f(a + 2)$，则$f(a)=$ （ ）
A. 2
B. $\sqrt{2}$
C. 1
D. 0

答案： B[由题意知$a - 3\leq0,a + 2＞0$，所以$a - 3+3=\sqrt{a + 2}$，即$a^2=a + 2$且$a\geq0$，解得$a = 2$，所以$f(a)=f(2)=\sqrt{2}$.故选B.]

例6 （1）已知函数$f(x)=\begin{cases}2^{x},x\gt 0,\\ x + 1,x\leqslant 0.\end{cases}$若$f(a)+f(1)=0$，则实数$a$的值为 （ ）
A. -3
B. -1
C. 1
D. 3

答案： A　[$\because f(1)=2^1=2,\therefore f(a)+2 = 0,\therefore f(a)=-2$.当$a\leq0$时，$f(a)=a + 1=-2,\therefore a=-3$；当$a＞0$时，$f(a)=2^a=-2$，方程无解.综上，$a=-3$.故选A.]

（2）已知函数$f(x)=\begin{cases}-x^{2}+2,x\leqslant 1,\\ x+\frac{1}{x}-1,x\gt 1,\end{cases}$则$f(f(\frac{1}{2}))=$________；若当$x\in [a,b]$时，$1\leqslant f(x)\leqslant 3$，则$b - a$的最大值是________.

答案： 答案　$\frac{37}{28}$ $3+\sqrt{3}$
解析　由已知得$f(\frac{1}{2})=-(\frac{1}{2})^2+2=\frac{7}{4}$，$f(\frac{7}{4})=\frac{7}{4}+\frac{4}{7}-1=\frac{37}{28}$，所以$f(f(\frac{1}{2}))=\frac{37}{28}$.当$x\leq1$时，由$1\leq f(x)\leq3$可得$1\leq -x^2+2\leq3$，所以$-1\leq x\leq1$；当$x＞1$时，由$1\leq f(x)\leq3$可得$1\leq x+\frac{1}{x}-1\leq3$，所以$1＜x\leq2+\sqrt{3}$.所以$1\leq f(x)\leq3$等价于$-1\leq x\leq2+\sqrt{3}$，所以$[a,b]\subseteq[-1,2+\sqrt{3}]$，所以$b - a$的最大值为$3+\sqrt{3}$.

12.（多选）已知函数$f(x)=\begin{cases}x + 2,x\leqslant -1,\\ x^{2},-1\lt x\lt 2,\end{cases}$则下列关于函数$f(x)$的结论正确的是 （ ）
A. $f(x)$的值域为$(-\infty,4)$
B. $f(1)=3$
C. 若$f(x)=3$，则$x$的值是$\sqrt{3}$
D. $f(x)\lt 1$的解集为$(-1,1)$

答案： AC　[当$x\leq - 1$时，$f(x)$的取值范围是$(-\infty,1]$，当$-1＜x＜2$时，$f(x)$的取值范围是$[0,4)$，因此$f(x)$的值域为$(-\infty,4)$，故A正确；$f(1)=1\neq3$，故B错误；当$x\leq - 1$时，由$x + 2=3$，解得$x = 1$（舍去），当$-1＜x＜2$时，由$x^2=3$，解得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$（舍去），故C正确；当$x\leq - 1$时，由$x + 2＜1$，解得$x＜-1$，当$-1＜x＜2$时，由$x^2＜1$，解得$-1＜x＜1$，因此$f(x)＜1$的解集为$(-\infty,-1)\cup(-1,1)$，故D错误.故选AC.]