《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 下列四个图象中，是函数图象的是 （ ）

A. ①②
B. ①②③
C. ①③④
D. ①②③④

答案： C　[根据函数的定义,一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有②不满足.故选C.]

2.（2024·黑龙江佳木斯四校联合体高三第一次调研）下列各组函数中，表示同一个函数的是 （ ）
A. $f(x)=x^{0}$与$g(x)=1$
B. $f(x)=x$与$g(x)=\frac{x^{2}}{x}$
C. $f(x)=\sqrt{(x - 2024)^{2}}$与$g(x)=x - 2024$
D. $f(x)=\begin{cases}1,x\geqslant 0,\\ -1,x\lt 0\end{cases}$与$g(x)=\begin{cases}\frac{x}{|x|},x\neq 0,\\ 1,x = 0\end{cases}$

答案： D[对于A,二者定义域不同,不是同一个函数;对于B,二者定义域不同，不是同一个函数;对于C,因为$f(x)=\sqrt{(x - 2024)^2}=|x - 2024|$与$g(x)=x - 2024$的对应关系不同,故二者不是同一个函数;对于D,$g(x)=\begin{cases}\frac{x}{|x|},x\neq0\\1,x = 0\end{cases}=\begin{cases}1,x＞0\\1,x = 0\\-1,x＜0\end{cases}=\begin{cases}1,x\geq0\\-1,x＜0\end{cases}$与$f(x)=\begin{cases}1,x\geq0\\-1,x＜0\end{cases}$的定义域以及对应关系都相同,故二者是同一个函数.故选D.]

例2 （1）（2024·湖北部分省级示范高中高三期中联考）函数$y=\sqrt{\lg x}+\lg(5 - 3x)$的定义域是 （ ）
A. $[0,\frac{5}{3})$
B. $(0,\frac{5}{3})$
C. $[1,\frac{5}{3})$
D. $[1,\frac{5}{3}]$

答案： C[由$\begin{cases}\lg x\geq0\\5 - 3x＞0\end{cases}$，得$1\leq x＜\frac{5}{3}$，故所求函数的定义域为$[1,\frac{5}{3})$.故选C.]

（2）已知函数$f(x)=\frac{3x - 1}{ax^{2}+ax - 3}$的定义域是$\mathbf{R}$，则实数$a$的取值范围是________.

答案： 答案　$(-12,0]$
解析　由题意可知$ax^2+ax - 3\neq0$对任意实数$x$都成立.当$a = 0$时,显然成立;当$a\neq0$时,需$\Delta=a^2+12a＜0$，解得$-12 ＜ a＜0$.综上所述，实数$a$的取值范围为$(-12,0]$.

3.（2024·江苏淮安高三期中考）函数$f(x)=\frac{1}{x - 1}+\sqrt{2 - x}$的定义域是________.

答案： 答案　$(-\infty,1)\cup(1,2]$
解析　由已知，得$\begin{cases}x - 1\neq0\\2 - x\geq0\end{cases}$，解得$x\leq2$且$x\neq1$，即函数$f(x)=\frac{1}{x - 1}+\sqrt{2 - x}$的定义域是$(-\infty,1)\cup(1,2]$.

4. 若函数$y=\sqrt{x^{2}+2x + a}+\ln(x + 2)$的定义域为$[1,+\infty)$，则$a =$________.

答案： 答案　$-3$
解析　由$\begin{cases}x^2+2x+a\geq0\\x + 2＞0\end{cases}$，得$\begin{cases}x^2+2x+a\geq0\\x＞-2\end{cases}$，则上式的解集为$[1,+\infty)$，所以$x = 1$为方程$x^2+2x+a = 0$的一个根，即$1 + 2+a = 0$，解得$a=-3$.经检验符合题意，故$a=-3$.

例3 （1）已知函数$f(x)$的定义域为$[1,2]$，求函数$y = f(2x + 1)$的定义域；
（2）已知函数$y = f(2x + 1)$的定义域为$[1,2]$，求函数$f(x)$的定义域；
（3）已知函数$y = f(2x + 1)$的定义域为$[1,2]$，求函数$y = f(2x - 1)$的定义域.

答案： 解　
(1)由$1\leq2x + 1\leq2$，得$0\leq x\leq\frac{1}{2}$，所以函数$y = f(2x + 1)$的定义域为$[0,\frac{1}{2}]$.
(2)因为$y = f(2x + 1)$的定义域为$[1,2]$，即$1\leq x\leq2$，所以$3\leq2x + 1\leq5$，即函数$f(x)$的定义域为$[3,5]$.
(3)因为函数$y = f(2x + 1)$的定义域为$[1,2]$，所以$3\leq2x + 1\leq5$.由$3\leq2x - 1\leq5$，得$2\leq x\leq3$，所以函数$y = f(2x - 1)$的定义域为$[2,3]$.