《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

3. 数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n + 1}}$，若$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为24，则$n=$（ ）
A. 25
B. 576
C. 624
D. 625

答案： C $[a_{n}=\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$，所以$S_{n}=(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n})=\sqrt{n + 1}-1$，令$S_{n}=24$，得$n = 624$．故选C.]

4.(2022·新高考Ⅰ卷)记$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，已知$a_{1}=1,\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\}$是公差为$\frac{1}{3}$的等差数列.
　(1)求$\{ a_{n}\}$的通项公式;
　(2)证明: $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}＜2$.

答案： 解
(1)因为$\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\}$是首项为$1$，公差为$\frac{1}{3}$的等差数列，
所以$\frac{S_{n}}{a_{n}}=1+\frac{1}{3}(n - 1)=\frac{n + 2}{3}$，
故$S_{n}=\frac{n + 2}{3}a_{n}$． ①
当$n\geqslant2$时，$S_{n - 1}=\frac{n + 1}{3}a_{n - 1}$． ②
由① - ②可知$a_{n}=\frac{n + 2}{3}a_{n}-\frac{n + 1}{3}a_{n - 1}$，
所以$(n - 1)a_{n}=(n + 1)a_{n - 1}$，即$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=\frac{n + 1}{n - 1}$．
所以$\frac{a_{2}}{a_{1}}\times\frac{a_{3}}{a_{2}}\times\cdots\times\frac{a_{n - 1}}{a_{n - 2}}\times\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=\frac{3}{1}\times\frac{4}{2}\times\frac{5}{3}\times\cdots\times\frac{n}{n - 2}\times\frac{n + 1}{n - 1}=\frac{n(n + 1)}{2}(n\geqslant2)$，
所以$a_{n}=\frac{n(n + 1)}{2}(n\geqslant2)$，
又$a_{1}=1$也满足上式，所以$a_{n}=\frac{n(n + 1)}{2}(n\in N^{*})$．
(2)证明：因为$\frac{1}{a_{n}}=\frac{2}{n(n + 1)}=\frac{2}{n}-\frac{2}{n + 1}$，
所以$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}=\frac{2}{1}-\frac{2}{2}+\frac{2}{2}-\frac{2}{3}+\cdots+\frac{2}{n}-\frac{2}{n + 1}=2-\frac{2}{n + 1}＜2$．

例4　(2023·全国甲卷)已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{2}=1$，设$S_{n}$为$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，$2S_{n}=na_{n}$.
　(1)求$\{ a_{n}\}$的通项公式;
　(2)求数列$\{\frac{a_{n}+1}{2^{n}}\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案： 解
(1)因为$2S_{n}=na_{n}$，
当$n = 1$时，$2a_{1}=a_{1}$，即$a_{1}=0$；
当$n = 3$时，$2(1 + a_{3})=3a_{3}$，即$a_{3}=2$，
当$n\geqslant2$时，$2S_{n - 1}=(n - 1)a_{n - 1}$，
所以$2(S_{n}-S_{n - 1})=na_{n}-(n - 1)a_{n - 1}$，
即$2a_{n}=na_{n}-(n - 1)a_{n - 1}$，
化简得$(n - 2)a_{n}=(n - 1)a_{n - 1}$，
当$n\geqslant3$时，$\frac{a_{n}}{n - 1}=\frac{a_{n - 1}}{n - 2}=\cdots=\frac{a_{3}}{2}=1$，即$a_{n}=n - 1$，
当$n = 1$，$2$时都满足上式，所以$a_{n}=n - 1(n\in N^{*})$．
(2)因为$\frac{a_{n}+1}{2^{n}}=\frac{n}{2^{n}}$，所以$T_{n}=1\times(\frac{1}{2})^{1}+2\times(\frac{1}{2})^{2}+3\times(\frac{1}{2})^{3}+\cdots+n\times(\frac{1}{2})^{n}$，
$\frac{1}{2}T_{n}=1\times(\frac{1}{2})^{2}+2\times(\frac{1}{2})^{3}+\cdots+(n - 1)\times(\frac{1}{2})^{n}+n\times(\frac{1}{2})^{n + 1}$，
两式相减得$\frac{1}{2}T_{n}=(\frac{1}{2})^{1}+(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{3}+\cdots+(\frac{1}{2})^{n}-n\times(\frac{1}{2})^{n + 1}=\frac{\frac{1}{2}\times[1 - (\frac{1}{2})^{n}]}{1 - \frac{1}{2}}-n\times(\frac{1}{2})^{n + 1}=1-(1+\frac{n}{2})\times(\frac{1}{2})^{n}$，
即$T_{n}=2-(2 + n)\times(\frac{1}{2})^{n},n\in N^{*}$．