《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例2　已知函数$f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)$的部分图象如图所示，则$f(x)$的表达式可以为（ ）

A. $f(x)=2\cos(2x-\frac{\pi}{6})$
B. $f(x)=2\cos(2x-\frac{7\pi}{6})$
C. $f(x)=\sin(2x-\frac{5\pi}{3})$
D. $f(x)=2\sin(x-\frac{7\pi}{12})$

答案： A[不妨令$A\gt0,\omega\gt0$。由题图可知，$A = 2,\frac{3}{4}T=\frac{13\pi}{12}-\frac{\pi}{3}$，$\therefore T=\pi$，$\therefore\omega=\frac{2\pi}{T}=2$，$f(x)$的图象经过最高点$(\frac{13\pi}{12},2)$，$\therefore2\times\frac{13\pi}{12}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，故$\varphi=-\frac{13\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，$\therefore f(x)=2\sin(2x-\frac{13\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+2k\pi)=2\sin(2x-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2})=2\cos(2x - \frac{\pi}{6})$。故选A。]

[巩固迁移]
2.（2024·湘潭模拟）已知函数$f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)(A＞0,\omega＞0,|\varphi|＜\frac{\pi}{2})$的部分图象如图所示，则将$y = f(x)$的图象向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为（ ）

A. $y = -\cos2x$
B. $y = \cos2x$
C. $y = \sin(2x+\frac{5\pi}{6})$
D. $y = \sin(2x-\frac{\pi}{6})$

答案： C[观察图象得$A = 1$，令函数$f(x)$的周期为$T$，则有$\frac{3T}{4}=\frac{11\pi}{12}-\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi}{4}$，解得$T=\pi$，则$\omega=\frac{2\pi}{T}=2$，而当$x=\frac{\pi}{6}$时，$f(x)_{\max}=1$，则有$2\times\frac{\pi}{6}+\varphi=2k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，又$|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}$，则$\varphi=\frac{\pi}{6}$，因此$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$。将$y = f(x)$的图象向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度得$f(x+\frac{\pi}{3})=\sin(2x+\frac{5\pi}{6})$，所以将$y = f(x)$的图象向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为$y = \sin(2x+\frac{5\pi}{6})$。故选C。]

例3　（1）已知函数$f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{3})+\sin\omega x(\omega＞0)$的最小正周期为$\pi$，将函数$y = f(x)$的图象向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度后，再将图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得到函数$y = g(x)$的图象，则函数$y = g(x)-3\cos x$的最小值为（ ）
A. 4
B. -4
C. $\frac{17}{8}$
D. $-\frac{17}{8}$

答案： D[$f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{3})+\sin\omega x=\frac{1}{2}\sin\omega x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\omega x+\sin\omega x=\frac{3}{2}\sin\omega x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\omega x=\sqrt{3}\sin(\omega x+\frac{\pi}{6})$，因为$f(x)$的最小正周期为$\pi,\omega\gt0$，所以$\pi=\frac{2\pi}{\omega}$，所以$\omega = 2$，所以$f(x)=\sqrt{3}\sin(2x+\frac{\pi}{6})$，又将函数$y = f(x)$的图象向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度后，再将图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得到函数$y = g(x)$的图象，所以$g(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}\times\sqrt{3}\sin[2(x+\frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{6}]=\cos2x$，所以$y = g(x)-3\cos x=\cos2x-3\cos x=2\cos^{2}x-3\cos x - 1$，当$\cos x=\frac{3}{4}$时，$y = g(x)-3\cos x$有最小值，为$-\frac{17}{8}$。故选D。]