《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

3. 复数的四则运算
（1）复数的加、减、乘、除运算法则
设$z_{1}=a + bi,z_{2}=c + di(a,b,c,d\in\mathbf{R})$，则
①加法：$z_{1}+z_{2}=(a + bi)+(c + di)=$______；
②减法：$z_{1}-z_{2}=(a + bi)-(c + di)=$______；
③乘法：$z_{1}\cdot z_{2}=(a + bi)(c + di)=$______；
④除法：$\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{a + bi}{c + di}=\frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)}=\frac{ac + bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc - ad}{c^{2}+d^{2}}\mathrm{i}(c + di\neq0).$
（2）几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形$OZ_{1}ZZ_{2}$可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即$\overrightarrow{OZ}=\overrightarrow{OZ_{1}}+\overrightarrow{OZ_{2}},\overrightarrow{Z_{1}Z_{2}}=\overrightarrow{OZ_{2}}-\overrightarrow{OZ_{1}}.$

答案： (a + c)+(b + d)i ，(a - c)+(b - d)i ，(ac - bd)+(ad + bc)i

诊断自测
1. 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）复数$z = a - bi(a,b\in\mathbf{R})$中，虚部为$b.$（ ）
（2）复数可以比较大小.（ ）
（3）已知$z = a + bi(a,b\in\mathbf{R})$，当$a = 0$时，复数$z$为纯虚数.（ ）
（4）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.（ ）

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√

2. 小题热身
（1）(2023·全国甲卷)$\frac{5(1 + \mathrm{i}^{3})}{(2 + \mathrm{i})(2 - \mathrm{i})}=$（ ）
A. -1
B. 1
C. $1 - \mathrm{i}$
D. $1 + \mathrm{i}$

答案： 2.
(1)C [$\frac{5(1 + i^{3})}{(2 + i)(2 - i)}=\frac{5(1 - i)}{5}=1 - i$. 故选 C.]

（2）(人教A必修第二册习题7.2 T2改编)在复平面内，向量$\overrightarrow{AB}$对应的复数是$2 + \mathrm{i}$，向量$\overrightarrow{CB}$对应的复数是$-1 - 3\mathrm{i}$，则向量$\overrightarrow{CA}$对应的复数是（ ）
A. $1 - 2\mathrm{i}$
B. $-1 + 2\mathrm{i}$
C. $3 + 4\mathrm{i}$
D. $-3 - 4\mathrm{i}$

答案： 2.
(2)D [$\because\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}=-1 - 3i - 2 - i=-3 - 4i$. 故选 D.]

（3）若$a + bi(a,b\in\mathbf{R})$是$\frac{1 - \mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}}$的共轭复数，则$a + b =$_______.

答案： 2.
(3)答案 1
解析 由$\frac{1 - i}{1 + i}=\frac{(1 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}=-i$，得$a + bi = i$，即$a = 0$，$b = 1$，则$a + b = 1$.

（4）(人教B必修第四册习题10 - 1A T2改编)已知$(a - \mathrm{i})(1 - 2\mathrm{i})=-3 + b\mathrm{i},a,b\in\mathbf{R},\mathrm{i}$是虚数单位，则$a + b =$_______；若复数$z = a + b\mathrm{i}$，则$z$在复平面内对应的点位于第_______象限.

答案： 2.
(4)答案 0 二
解析 由$(a - i)(1 - 2i)=-3 + bi$，得$a - 2-(1 + 2a)i=-3 + bi$，由复数相等的充要条件得$\begin{cases}a - 2=-3\\-(1 + 2a)=b\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-1\\b = 1\end{cases}$，所以$a + b = 0$，$z=-1 + i$，所以复数$z$在复平面内对应的点为$(-1,1)$，位于第二象限.

例1　　(1)(2023·苏州期末)设i为虚数单位,若复数(1 - i)(1 + ai)是纯虚数,则实数a的值为(　　)
A. -1　　
　B. 0　　　
　C. 1　　　
　D. 2

答案： A [
∵(1 - i)(1 + ai)=1 + ai - i + a = 1 + a + (a - 1)i为纯虚数，
∴1 + a = 0，且a - 1≠0，
∴a = - 1. 故选A.]

(2)若复数z满足(1 + 2i)z = 4 + 3i,则$\overline{z}$的实部为(　　)
A. 1　　　
　B. -1　　
　C. 2　　　
　D. -2

答案： C [由题意，得z = $\frac{4 + 3i}{1 + 2i}=\frac{(4 + 3i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)}=\frac{10 - 5i}{5}=2 - i$，所以$\overline{z}=2 + i$，故$\overline{z}$的实部为2. 故选C.]