《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

4. 指数函数及其性质
　(1) 概念：函数$y = a^{x}(a ＞ 0$，且$a\neq1)$叫做指数函数，其中指数$x$是自变量，定义域是$\mathbf{R}$，$a$是底数.
　(2) 指数函数的图象与性质
　

答案： 9.$(0, +\infty)$ 10.$(0,1)$ 11.$y > 1$ 12.$0 < y < 1$ 13.$y > 1$ 14.$0 < y < 1$ 15.增函数 16.减函数

1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
　(1) $\sqrt[4]{(-4)^{4}}=-4$. （ ）
　(2) $2^{a}\cdot2^{b}=2^{ab}$. （ ）
　(3) $\sqrt[n]{a^{n}} = (\sqrt[n]{a})^{n}=a$. （ ）
　(4) $\sqrt[6]{(-3)^{2}}=(-3)^{\frac{1}{3}}$. （ ）
　(5) 函数$y = 2^{x - 1}$是指数函数. （ ）

答案：
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
(5)×

2. 小题热身
　(1) （人教 A 必修第一册习题 4.1 T1 改编）下列运算中正确的是 （ ）
A. $\sqrt{(2 - \pi)^{2}}=2 - \pi$
B. $a\sqrt{-\frac{1}{a}}=\sqrt{-a}$
C. $(m^{\frac{1}{4}}n^{-\frac{3}{8}})^{8}=\frac{m^{2}}{n^{3}}$
D. $(x^{3 - \sqrt{2}})^{3+\sqrt{2}}=x^{9}$

答案：
(1)C [对于A，因为$2 - \pi ＜ 0$，所以$\sqrt{(2 - \pi)^{2}} = \pi - 2$，故A错误；对于B，因为$-\frac{1}{a} ＞ 0$，所以$a ＜ 0$，则$a\sqrt{-\frac{1}{a}} = -(-a)\cdot\frac{1}{\sqrt{-a}} = -\sqrt{-a}$，故B错误；对于C，因为$(m^{\frac{1}{4}}n^{-\frac{3}{8}})^{8} = (m^{\frac{1}{4}})^{8}\cdot(n^{-\frac{3}{8}})^{8} = \frac{m^{2}}{n^{3}}$，故C正确；对于D，因为$(x^{3 - \sqrt{2}})^{3 + \sqrt{2}} = x^{9 - 2} = x^{7}$，故D错误.]

　(2) 已知指数函数$y = f(x)$的图象经过点$(-1,2)$，那么这个函数也必定经过点 （ ）
A. $(-2,\frac{1}{4})$
B. $(-1,\frac{1}{2})$
C. $(1,2)$
D. $(3,\frac{1}{8})$

答案：
(2)D

　(3) 函数$y = 2^{x + 1}$的图象是 （ ）
　

答案：
(3)A

　(4) 若函数$y = a^{x}(a ＞ 0$，且$a\neq1)$在区间$[0,1]$上的最大值与最小值之和为$3$，则$a$的值为____.

答案：
(4)2

例1　　(1)(2024·湖北宜昌高三模拟)已知x，y＞0，化简$\frac{3x^{-\frac{3}{4}}y^{\frac{1}{2}}}{(-\frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{3}})(\frac{6}{5}x^{-1}y^{-\frac{1}{6}})}=$______．

答案： （1）答案 -10y
解析 原式=$\frac{3x^{-\frac{3}{4}}y^{\frac{1}{2}}}{-\frac{3}{10}x^{-\frac{3}{4}}y^{-\frac{1}{2}}}=-10y$.

(2)计算：$(2\frac{1}{4})^{0.5}-0.75^{2}+6^{-2}\times(\frac{8}{27})^{-\frac{2}{3}}=$______．

答案： （2）答案 1
解析 原式=$[(\frac{3}{2})^{2}]^{\frac{1}{2}}-(\frac{3}{4})^{2}+\frac{1}{36}\times[(\frac{2}{3})^{3}]^{-\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}-(\frac{3}{4})^{2}+\frac{1}{36}\times(\frac{2}{3})^{-2}=\frac{3}{2}-\frac{9}{16}+\frac{1}{36}\times\frac{9}{4}=1$.