《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1.(多选)(2024·湖北襄阳五中质检)下列关于点、线、面的位置关系的说法中不正确的是（ ）
A.若两个平面有三个公共点，则它们一定重合
B.空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
C.直线$a$，$b$分别和异面直线$c$，$d$都相交，则直线$a$，$b$是异面直线
D.正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$O$是$B_{1}D_{1}$的中点，直线$A_{1}C$交平面$AB_{1}D_{1}$于点$M$，则$A$，$M$，$O$三点共线，且$A$，$M$，$O$，$C$四点共面

答案：
ABC　[对于A，当这三点共线时，两个平面可以不重合，如图，在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，A，D，E三个点在一条直线上，但平面ABCD与平面ADD₁A₁相交，不重合，故A不正确；对于B，从点A出发的三条棱AA₁，AB，AD不在同一平面内，故B不正确；对于C，如图，记直线AA₁，B₁C₁分别为c，d，直线AB₁，A₁B₁分别为a，b，可知AB₁∩A₁B₁ = B₁，则此时直线a，b相交，故C不正确；对于D，平面AA₁C∩平面AB₁D₁ = AO，因为直线A₁C交平面AB₁D₁于点M，所以M∈AO，即A，M，O三点共线，因为A，M，O三点共线，直线和直线外一点可以确定一个平面，所以A，O，C，M四点共面，故D正确.故选ABC.]

例2 (1)若直线$l_{1}$和$l_{2}$是异面直线，$l_{1}$在平面$\alpha$内，$l_{2}$在平面$\beta$内，$l$是平面$\alpha$与平面$\beta$的交线，则下列结论正确的是（ ）
A.$l$与$l_{1}$，$l_{2}$都不相交
B.$l$与$l_{1}$，$l_{2}$都相交
C.$l$至多与$l_{1}$，$l_{2}$中的一条相交
D.$l$至少与$l_{1}$，$l_{2}$中的一条相交
(2)如图，在直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，与直线$BC_{1}$异面的棱有（ ）
　　　　　　　　　　　　　　
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条

答案：

(1)D　[如图1，l₁与l₂是异面直线，l₁与l平行，l₂与l相交，故A，B不正确；如图2，l₁与l₂是异面直线，l₁，l₂都与l相交，故C不正确.故选D.]


(2)C　[在直三棱柱ABC - A₁B₁C₁的棱所在的直线中，与直线BC₁异面的直线有A₁B₁，AC，AA₁，共3条.故选C.]

2.(2023·广东广州调研)若空间中四条直线$l_{1}$，$l_{2}$，$l_{3}$，$l_{4}$，满足$l_{1}\perp l_{2}$，$l_{2}// l_{3}$，$l_{3}\perp l_{4}$，则下列结论一定正确的是（ ）
A.$l_{1}\perp l_{4}$
B.$l_{1}// l_{4}$
C.$l_{1}$，$l_{4}$既不平行也不垂直
D.$l_{1}$，$l_{4}$位置关系不确定

答案：
D　[如图所示，在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，取AA₁为l₂，BB₁为l₃，AD为l₁，BC为l₄，则l₁//l₄；取AD为l₁，AB为l₄，则l₁⊥l₄；取AD为l₁，A₁B₁为l₄，则l₁与l₄异面，因此l₁，l₄的位置关系不确定.故选D.]

3.(2024·南京模拟)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（ ）
　　　　　　　　　　　　　
A.直线$CD$与直线$GH$异面
B.直线$CD$与直线$EF$共面
C.直线$AB$与直线$EF$平行
D.直线$GH$与直线$EF$共面

答案：
B　[如图，点C与点G重合，故A错误；
∵CE//BD，且CE = BD，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∴CD//EF，
∴CD与EF共面，故B正确；
∵AB∩EF = B，
∴AB与EF相交，故C错误；
∵EF与GH既不平行也不相交，
∴EF与GH是异面直线，故D错误.故选B.]

例3 (2024·河北邢台月考)已知圆柱的母线长与底面半径之比为$\sqrt{3}:2$，四边形$ABCD$为其轴截面，若点$E$为上底面$\overset{\frown}{AB}$的中点，则异面直线$DE$与$AB$所成角的余弦值为（ ）
A.$\frac{2\sqrt{11}}{11}$
B.$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案：
A　[如图所示，因为AB//CD，所以∠EDC(或其补角)为异面直线DE与AB所成的角.设CD的中点为O，过点E作EF⊥底面圆于F，连接OE，OF，因为E是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以F是$\overset{\frown}{CD}$的中点，CD⊥OF.又因为EF⊥圆O，所以EF⊥CD.由于EF∩OF = F，OF，EF⊂平面OEF，则CD⊥平面OEF，OD⊥OE.设AD = $\sqrt{3}$，则OD = OF = 2.所以OE = $\sqrt{7}$，ED = $\sqrt{11}$，所以cos∠EDC = $\frac{OD}{DE}$ = $\frac{2}{\sqrt{11}}$ = $\frac{2\sqrt{11}}{11}$.故选A.]