《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例1 （1）（2024·江苏连云港一中高三上月考）已知函数$f(x)$的导函数为$f'(x)$，且$f'(1)=a$，$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1)-f(1+\Delta x)}{2\Delta x}=1-a$，则实数$a$的值为（ ）
A. -2
B. $-\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 2

答案： 例1
(1)D [由题意，得$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1)-f(1+\Delta x)}{2\Delta x}=-\frac{1}{2}\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=-\frac{1}{2}a$，所以$-\frac{1}{2}a = 1 - a$，解得$a = 2$. 故选D.]

（2）（多选）下列结论中错误的是（ ）
A. 若$y = \cos\frac{1}{x}$，则$y' = -\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$
B. 若$y = \sin x^{2}$，则$y' = 2x\cos x^{2}$
C. 若$y = \cos 5x$，则$y' = -\sin 5x$
D. 若$y = \frac{1}{2}x\sin 2x$，则$y' = x\sin 2x$

答案：
(2)ACD [对于A，$y = \cos\frac{1}{x}$，则$y'=\frac{1}{x^{2}}\sin\frac{1}{x}$，故A错误；对于B，$y = \sin x^{2}$，则$y' = 2x\cos x^{2}$，故B正确；对于C，$y = \cos 5x$，则$y' = - 5\sin 5x$，故C错误；对于D，$y = \frac{1}{2}x\sin 2x$，则$y'=\frac{1}{2}\sin 2x+x\cos 2x$，故D错误. 故选ACD.]

【巩固迁移】
1.（多选）下列求导数的运算中正确的是（ ）
A. $(x+\frac{1}{x})' = 1-\frac{1}{x^{2}}$
B. $(3\ln x)' = \frac{3}{x}$
C. $(\frac{x}{e^{x}})' = \frac{1}{e^{x}}$
D. $(x^{2}\cos x)' = -2x\sin x$

答案： [巩固迁移] 1.AB [对于A，$x' = 1$，$(\frac{1}{x})'=(x^{-1})'=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}$，相加即可，故A正确；对于B，系数不变，只对$\ln x$求导即可，即$(3\ln x)'=\frac{3}{x}$，故B正确；对于C，由除法求导公式，得$(\frac{x}{e^{x}})'=\frac{(1 - x)e^{x}}{e^{2x}}=\frac{1 - x}{e^{x}}$，故C错误；对于D，由乘法求导公式，得$(x^{2}\cos x)' = 2x\cos x - x^{2}\sin x$，故D错误. 故选AB.]

2.（2023·重庆市第八中学高三适应性月考（三））已知函数$f(x)$的导数为$f'(x)$，且满足$f(x)=e^{x}-2f'(0)\sin x + 1$，则$f(\frac{\pi}{2}) =$________．

答案： 2.答案 $e^{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{3}$
解析 因为$f'(x)=e^{x}-2f'(0)\cos x$，所以$f'(0)=e^{0}-2f'(0)\cos 0$，解得$f'(0)=\frac{1}{3}$，所以$f(\frac{\pi}{2})=e^{\frac{\pi}{2}}-\frac{2}{3}\sin\frac{\pi}{2}+1=e^{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{3}$.

例2 函数$f(x)$的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. $f'(1)＞f'(2)＞0＞f'(3)$
B. $f'(1)＜f'(2)＜f'(3)＜0$
C. $0＜f'(1)＜f'(2)＜f'(3)$
D. $f'(1)＞f'(2)＞f'(3)＞0$

答案：
例2 D [如图，作出函数在$x = 1,2,3$处的切线$l_{1},l_{2},l_{3}$，可见三条切线的斜率依次递减，但是都大于零，由导数的几何意义可知，$f'(1)＞f'(2)＞f'(3)＞0$. 故选D.]

【巩固迁移】
3. 函数$y = f(x)$的图象如图所示，下列不等关系正确的是（ ）

A. $0＜f'(2)＜f'(3)＜f(3)-f(2)$
B. $0＜f'(2)＜f(3)-f(2)＜f'(3)$
C. $0＜f'(3)＜f(3)-f(2)＜f'(2)$
D. $0＜f(3)-f(2)＜f'(2)＜f'(3)$

答案：
[巩固迁移] 3.C [如图所示，根据导数的几何意义，可得$f'(2)$表示切线$l_{1}$的斜率$k_{1}＞0$，$f'(3)$表示切线$l_{3}$的斜率$k_{3}＞0$，又由平均变化率的定义，可得$\frac{f(3)-f(2)}{3 - 2}=f(3)-f(2)$，表示割线$l_{2}$的斜率$k_{2}$，结合图象，可得$0＜k_{3}＜k_{2}＜k_{1}$，即$0＜f'(3)＜f(3)-f(2)＜f'(2)$. 故选C.]