《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1.分别画出下列函数的图象：
(1)$y = |\lg(x - 1)|$；(2)$y = 2^{x + 1} - 1$；
(3)$y = x^2 - |x| - 2$.

答案：
解 （1）首先作出$y = \lg x$的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到$y = \lg(x - 1)$的图象，再把所得图象在$x$轴下方的部分翻折到$x$轴上方，即得所求函数$y = |\lg(x - 1)|$的图象，如图1中实线部分.

（2）将$y = 2^x$的图象向左平移1个单位长度，得到$y = 2^{x + 1}$的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到$y = 2^{x + 1}-1$的图象，如图2所示.

（3）$y = x^2 - |x| - 2=\begin{cases}x^2 - x - 2,x\geq0\\x^2 + x - 2,x\lt0\end{cases}$，其图象如图3所示.
　
　　　

例2　　(2024·湖北武汉高三模拟)函数$f(x)=\frac{\sin x}{e^x + e^{-x}}$的部分图象可能为　　　　　　(　　　)
　　　

答案： A [因为函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，且$f(-x)=\frac{\sin(-x)}{e^{-x}+e^{x}}=\frac{-\sin x}{e^{x}+e^{-x}}=-f(x)$，所以函数$f(x)$是奇函数，其图象关于原点对称，故D不正确；当$x\in(0,\pi)$时，$\sin x\gt0$，则$f(x)\gt0$，故B不正确；当$x\in(\pi,2\pi)$时，$\sin x\lt0$，故$f(x)\lt0$，故C不正确.故选A.]

2.已知函数$y = f(x)$的定义域为$\{x|x\in\mathbf{R},且x\neq0\}$，且满足$f(x) - f(-x) = 0$，当$x＞0$时，$f(x)=\ln x - x + 1$，则函数$y = f(x)$的大致图象为　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　

答案： D [由$f(x)-f(-x)=0$，得函数$f(x)$为偶函数，排除A，B；又当$x\gt0$时，$f(x)=\ln x - x + 1$，所以$f(1)=0$，$f(e)=2 - e\lt0$.故选D.]

例3　　(2024·湖北襄阳部分学校高三期中)已知函数$f(x)=\cos x$，$g(x)=\frac{6x}{x^2 + 1}$，若函数$h(x)$在$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$上的大致图象如图所示，则$h(x)$的解析式可能是　　　　　　　　　(　　　)
A.$h(x)=f(x)+g(x)$
B.$h(x)=f(x)-g(x)$
C.$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$
D.$h(x)=f(x)g(x)$
　　　　　　　　　　　　

答案： D [易知$f(x)=\cos x$为偶函数，由$g(-x)=\frac{6(-x)}{(-x)^2 + 1}=-\frac{6x}{x^2 + 1}=-g(x)$，得$g(x)$为奇函数，由图象可知，该函数是奇函数，因为$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，所以$f(x)\pm g(x)$是非奇非偶函数，A，B不符合题意；因为当$x = 0$时，$y=\frac{f(x)}{g(x)}$无意义，所以C不符合题意.故选D.]

3.已知函数$f(x)$的部分图象如图所示，则$f(x)$的解析式可能为　　　　　(　　　)


A.$f(x)=x\sin\pi x$
B.$f(x)=(x - 1)\sin\pi x$
C.$f(x)=x\cos[\pi(x + 1)]$
D.$f(x)=(x - 1)\cos\pi x$

答案： B [对于A，$f(-x)=-x\sin(-\pi x)=x\sin\pi x=f(x)$，所以函数$f(x)=x\sin\pi x$为偶函数，故排除A；对于C，$f(x)=x\cos[\pi(x + 1)]=-x\cos\pi x$，则$f(-x)=x\cos\pi x=-f(x)$，所以函数$f(x)=x\cos[\pi(x + 1)]$为奇函数，故排除C；对于D，$f(0)=-1\neq0$，故排除D.故选B.]