《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

4.(多选)(2023·山东淄博调研)已知等差数列{aₙ}的公差为d，前n项和为Sₙ，当首项a₁和d变化时，a₂ + a₈ + a₁₁是一个定值，则下列各项为定值的是 （ ）
A. a₇
B. a₈
C. S₁₃
D. S₁₅

答案： AC[由题意知$a_{2}+a_{8}+a_{11}=a_{1}+d+a_{1}+7d+a_{1}+10d=3a_{1}+18d=3(a_{1}+6d)=3a_{7}$，$\therefore a_{7}$是定值，$\therefore S_{13}=\frac{13(a_{1}+a_{13})}{2}=13a_{7}$是定值. 故选AC.]

例3　　(1)已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₅ = 7，S₁₀ = 21，则S₁₅ = （ ）
A. 35
B. 42
C. 49
D. 63

答案： B　[解法一:由题意知，$S_{5}$，$S_{10}-S_{5}$，$S_{15}-S_{10}$成等差数列，即$7$，$14$，$S_{15}-21$成等差数列，$\therefore S_{15}-21 + 7 = 28$，$\therefore S_{15}=42$. 故选B.
　解法二:$\because\{a_{n}\}$为等差数列，$\therefore\{\frac{S_{n}}{n}\}$也为等差数列，$\therefore\frac{2S_{10}}{10}=\frac{S_{5}}{5}+\frac{S_{15}}{15}$，$\therefore S_{15}=42$. 故选B.]

(2)已知等差数列{aₙ}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为 （ ）
A. 28
B. 29
C. 30
D. 31

答案： B　[设等差数列$\{a_{n}\}$共有$2n + 1$项，则$S_{奇}=a_{1}+a_{3}+a_{5}+\cdots+a_{2n + 1}$，$S_{偶}=a_{2}+a_{4}+a_{6}+\cdots+a_{2n}$，该数列的中间项为$a_{n + 1}$，又$S_{奇}-S_{偶}=a_{1}+(a_{3}-a_{2})+(a_{5}-a_{4})+\cdots+(a_{2n + 1}-a_{2n})=a_{1}+d + d+\cdots+d=a_{1}+nd=a_{n + 1}$，所以$a_{n + 1}=S_{奇}-S_{偶}=319 - 290 = 29$. ]

[巩固迁移]
5.(2024·安徽蚌埠二中阶段考试)已知Sₙ是等差数列{aₙ}的前n项和，若a₁ = -2018，$\frac{S_{2020}}{2020}$ - $\frac{S_{2014}}{2014}$ = 6，则S₂₀₂₃ = ________.

答案： 答案　8092
　解析　由等差数列的性质可得$\{\frac{S_{n}}{n}\}$也为等差数列，设其公差为$d$，则$\frac{S_{2020}}{2020}-\frac{S_{2014}}{2014}=6d = 6$，所以$d = 1$，所以$\frac{S_{2023}}{2023}=\frac{S_{1}}{1}+2022d=-2018 + 2022 = 4$，所以$S_{2023}=8092$.

6.(2023·广东湛江模拟)有两个等差数列{aₙ}，{bₙ}，其前n项和分别为Sₙ，Tₙ.若$\frac{a_n}{b_n}$ = $\frac{2n - 1}{3n + 1}$，则$\frac{S_{11}}{T_{11}}$ = ________；若$\frac{S_n}{T_n}$ = $\frac{2n - 1}{3n + 1}$，则$\frac{a_5}{b_4}$ = ____.

答案： 答案　$\frac{11}{19}$　$\frac{17}{22}$
　解析　若$\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{2n - 1}{3n + 1}$，则$\frac{S_{11}}{T_{11}}=\frac{11a_{6}}{11b_{6}}=\frac{2\times6 - 1}{3\times6 + 1}=\frac{11}{19}$. 若$\frac{S_{n}}{T_{n}}=\frac{2n - 1}{3n + 1}=\frac{2n^{2}-n}{3n^{2}+n}$，则可设$S_{n}=(2n^{2}-n)k$，$T_{n}=(3n^{2}+n)k$，所以$a_{5}=S_{5}-S_{4}=45k - 28k = 17k$，$b_{4}=T_{4}-T_{3}=52k - 30k = 22k$，所以$\frac{a_{5}}{b_{4}}=\frac{17}{22}$.

例4　　在等差数列{aₙ}中，已知a₁ = 20，前n项和为Sₙ，且S₁₀ = S₁₅.求当n取何值时，Sₙ取得最大值，并求出它的最大值.

答案： 解　解法一(函数法):因为$a_{1}=20$，$S_{10}=S_{15}$，所以$10\times20+\frac{10\times9}{2}d=15\times20+\frac{15\times14}{2}d$，所以$d=-\frac{5}{3}$，$S_{n}=20n+\frac{n(n - 1)}{2}\cdot(-\frac{5}{3})=-\frac{5}{6}n^{2}+\frac{125}{6}n=-\frac{5}{6}(n-\frac{25}{2})^{2}+\frac{3125}{24}$.
　因为$n\in N^{*}$，所以当$n = 12$或$13$时，$S_{n}$有最大值，且最大值为$S_{12}=S_{13}=130$.
　解法二(邻项变号法−利用单调性):
　因为$a_{1}=20$，$S_{10}=S_{15}$，所以$10\times20+\frac{10\times9}{2}d=15\times20+\frac{15\times14}{2}d$，所以$d=-\frac{5}{3}$，$a_{n}=20+(n - 1)\times(-\frac{5}{3})=-\frac{5}{3}n+\frac{65}{3}$.
　因为$a_{1}=20＞0$，$d=-\frac{5}{3}＜0$，所以数列$\{a_{n}\}$是递减数列.
　由$a_{n}=-\frac{5}{3}n+\frac{65}{3}\leq0$，得$n\geq13$，即$a_{13}=0$.
　当$n\leq12$时，$a_{n}＞0$；当$n\geq14$时，$a_{n}＜0$.
　所以当$n = 12$或$13$时，$S_{n}$取得最大值，且最大值为$S_{12}=S_{13}=12\times20+\frac{12\times11}{2}\times(-\frac{5}{3})=130$.
解法三:(邻项变号法−利用性质):
　由$S_{10}=S_{15}$得$S_{15}-S_{10}=a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}+a_{15}=0$，所以$5a_{13}=0$，即$a_{13}=0$. 又$d=\frac{a_{13}-a_{1}}{13 - 1}=-\frac{5}{3}$，所以当$n = 12$或$13$时，$S_{n}$有最大值，且最大值为$S_{12}=S_{13}=12\times20+\frac{12\times11}{2}\times(-\frac{5}{3})=130$.

[巩固迁移]
7.(多选)(2023·济宁模拟)设等差数列{aₙ}的公差为d，前n项和是Sₙ，已知S₁₄ ＞ 0，S₁₅ ＜ 0，则下列说法正确的是 （ ）
A. a₁ ＞ 0，d ＜ 0
B. a₇ + a₈ ＞ 0
C. S₆与S₇均为Sₙ的最大值
D. a₈ ＜ 0

答案： ABD　[因为$S_{14}＞0$，$S_{15}＜0$，所以$S_{14}=\frac{14\times(a_{1}+a_{14})}{2}=7(a_{1}+a_{14})=7(a_{7}+a_{8})＞0$，即$a_{7}+a_{8}＞0$，因为$S_{15}=\frac{15\times(a_{1}+a_{15})}{2}=15a_{8}＜0$，所以$a_{8}＜0$，所以$a_{7}＞0$，所以等差数列$\{a_{n}\}$的前7项为正数，从第8项开始为负数，则$a_{1}＞0$，$d＜0$，$S_{7}$为$S_{n}$的最大值. 故选ABD.]