《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例4 （2023·江苏泰州模拟）某房地产公司要在荒地$ABCDE$（如图）上划出一块长方形地面（不改变方位）建一幢公寓，则公寓的最大面积为________$m^{2}$（精确到$1m^{2}$）.

答案：
例4　答案　6017
解析　在线段$AB$上任取一点$P$，分别向$CD$，$DE$作垂线，划出一块长方形地面，以$BC$，$EA$的交点为原点，$BC$，$EA$所在直线分别为$x$，$y$轴，建立平面直角坐标系，则$AB$的方程为$\frac{x}{30}+\frac{y}{20}=1$。设$P(x,20-\frac{2x}{3})$，则长方形的面积$S=(100 - x)[80-(20-\frac{2x}{3})](0\leqslant x\leqslant30)$。化简得$S = -\frac{2}{3}x^{2}+\frac{20}{3}x + 6000(0\leqslant x\leqslant30)$。当$x = 5$，$y=\frac{50}{3}$时，$S$最大，其最大值为$\frac{18050}{3}\approx6017\ m^{2}$。

6. 过坐标原点$O$作直线$l:(a + 2)x + (1 - a)y - 6 = 0$的垂线，垂足为$H(s,t)$，则$s^{2}+t^{2}$的取值范围是（ ）
A. $[0,2\sqrt{2}]$
B. $(0,2\sqrt{2}]$
C. $[0,8]$
D. $(0,8]$

答案： 6.D　[依题意，得$\overrightarrow{OH}=(s,t)$，直线$l$的方向向量$\boldsymbol{n}=(a - 1,a + 2)$，则有$\begin{cases}(a - 1)s+(a + 2)t = 0\\(a + 2)s-(a - 1)t = 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}s=\frac{6(a + 2)}{(a + 2)^{2}+(a - 1)^{2}}\\t=-\frac{6(a - 1)}{(a + 2)^{2}+(a - 1)^{2}}\end{cases}$。因此$s^{2}+t^{2}=\frac{36}{(a + 2)^{2}+(a - 1)^{2}}=\frac{36}{2(a+\frac{1}{2})^{2}+\frac{9}{2}}$，因为当$a = -\frac{1}{2}$时，$2(a+\frac{1}{2})^{2}+\frac{9}{2}$取得最小值$\frac{9}{2}$，所以$0\lt\frac{36}{2(a+\frac{1}{2})^{2}+\frac{9}{2}}\leqslant8$，即$s^{2}+t^{2}$的取值范围是$(0,8]$。故选D。]

必备知识　　　强基础
知识梳理
1. 两条直线的位置关系
直线$l_1:y = k_1x + b_1$，$l_2:y = k_2x + b_2$的位置关系如下表：

直线$l_3:A_1x + B_1y + C_1 = 0$，$l_4:A_2x + B_2y + C_2 = 0$（$l_3$的法向量$v_1 =$________________，$l_4$的法向量$v_2 =$________________）的位置关系如下表：

答案： $k_{1}=k_{2}$且$b_{1}\neq b_{2}$
@@$k_{1}k_{2}=-1$
@@$k_{1}\neq k_{2}$
@@$(A_{1},B_{1})$
@@$(A_{2},B_{2})$
@@$A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0$且$B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}\neq0$(或$A_{1}C_{2}-A_{2}C_{1}\neq0$)
@@$A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0$
@@$A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}\neq0$

2. 两条直线的交点
直线$l_1$和$l_2$的交点坐标即为两条直线的方程组成的方程组$\begin{cases}A_1x + B_1y + C_1 = 0\\A_2x + B_2y + C_2 = 0\end{cases}$的解.
相交$\Leftrightarrow$方程组有
________________；
平行$\Leftrightarrow$方程组
________________；
重合$\Leftrightarrow$方程组有
________________

答案： 唯一解
@@无解
@@无数个解