《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例2 已知tanθ = 2，则$\frac{1}{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}$的值为 （ ）
A. $\frac{3}{4}$ B. $\frac{2}{3}$ C. $\frac{5}{3}$ D. 2
[课堂笔记] ______________________________

答案： 例2 C [由题意，得$\frac{1}{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}=\frac{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}=\frac{\tan^{2}\theta + 1}{\tan^{2}\theta - 1}=\frac{2^{2}+1}{2^{2}-1}=\frac{5}{3}$. 故选C.]

【巩固迁移】
2.（2023·苏州模拟）已知$\frac{\sin\alpha + 3\cos\alpha}{3\cos\alpha - \sin\alpha}$ = 5，则$\cos^{2}\alpha+\sin\alpha\cos\alpha$ = （ ）
A. $\frac{3}{5}$
B. -$\frac{3}{5}$
C. -3
D. 3

答案： [巩固迁移] 2. A [由$\frac{\sin\alpha+3\cos\alpha}{3\cos\alpha-\sin\alpha}=5$，得$\frac{\tan\alpha + 3}{3-\tan\alpha}=5$，可得$\tan\alpha=2$，则$\cos^{2}\alpha+\sin\alpha\cos\alpha=\frac{\cos^{2}\alpha+\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha}=\frac{1+\tan\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}=\frac{3}{5}$. 故选A.]

例3 （2023·广东潮州模拟）已知$\frac{\pi}{2}$ ＜ x ＜ π，sinx + cosx = $\frac{1}{5}$，则sinx - cosx = ________.
[课堂笔记] ______________________________

答案： 例3 答案 $\frac{7}{5}$
解析 由$(\sin x+\cos x)^{2}=1 + 2\sin x\cos x=\frac{1}{25}$，得$2\sin x\cos x=-\frac{24}{25}$，所以$(\sin x-\cos x)^{2}=1 - 2\sin x\cos x=\frac{49}{25}$，因为$\frac{\pi}{2}＜x＜\pi$，所以$\sin x＞\cos x$，故$\sin x-\cos x=\frac{7}{5}$.

【巩固迁移】
3.（2023·山东聊城模拟）已知α∈(-$\frac{\pi}{2}$,$\frac{\pi}{2}$)，且sinα+cosα = $\frac{\sqrt{5}}{5}$，则tanα的值为________.

答案： [巩固迁移] 3. 答案 $-\frac{1}{2}$
解析
∵$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{5}$，
∴$\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{2}{5}$，
∴$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{9}{5}=(\sin\alpha-\cos\alpha)^{2}$，又$\sin\alpha\cos\alpha＜0$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，
∴$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},0)$，
∴$\sin\alpha＜0$，$\cos\alpha＞0$，
∴$\cos\alpha-\sin\alpha=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴$\sin\alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\tan\alpha=-\frac{1}{2}$.

考点二 诱导公式的应用
例4 （1）$\frac{\tan(\pi-\alpha)\cos(2\pi-\alpha)\sin(-\alpha+\frac{3\pi}{2})}{\cos(-\alpha-\pi)\sin(-\pi-\alpha)}$的值为 （ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

答案： 例4
(1) B [原式$=\frac{-\tan\alpha\cos\alpha(-\cos\alpha)}{\cos(\pi+\alpha)[-\sin(\pi+\alpha)]}=\frac{\tan\alpha\cos^{2}\alpha}{-\cos\alpha\sin\alpha}=-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=-1$. 故选B.]

（2）已知sin($\alpha-\frac{2\pi}{3}$) = $\frac{2}{3}$，其中α∈($\frac{\pi}{2}$，π)，则cos($\alpha-\frac{\pi}{6}$) = ________.
[课堂笔记] ______________________________

答案：
(2)答案 $-\frac{2}{3}$
解析 $\cos(\alpha-\frac{\pi}{6})=\cos(\alpha-\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{2})=-\sin(\alpha-\frac{2\pi}{3})=-\frac{2}{3}$.

【巩固迁移】
4.（2024·湖南长郡中学高三质量检测）已知$f(\alpha)=\frac{\sin(\alpha - 3\pi)\cos(2\pi-\alpha)\sin(-\alpha+\frac{5\pi}{2})}{\cos(-\pi-\alpha)\sin(-\pi-\alpha)}$，则$f(-\frac{31\pi}{3})$ = ________.

答案： [巩固迁移] 4. 答案 $\frac{1}{2}$
解析 因为$f(\alpha)=\frac{\sin(\alpha - 3\pi)\cos(2\pi-\alpha)\sin(-\alpha+\frac{5\pi}{2})}{\cos(-\pi-\alpha)\sin(-\pi-\alpha)}=\frac{-\sin\alpha\cos\alpha\cos\alpha}{-\cos\alpha\sin\alpha}=\cos\alpha$，所以$f(-\frac{31\pi}{3})=\cos(-\frac{31\pi}{3})=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$.