《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

5.一种药在病人血液中的量保持1500 mg以上才有疗效；而低于500 mg病人就有危险. 现给某病人静脉注射了这种药2500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过_______小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.(附：$\lg 2\approx0.3010$，$\lg 3\approx0.4771$，精确到0.1 h)

答案： 答案 2.3
解析 设应在病人注射这种药经过x小时后再向病人的血液补充这种药，则$2500(1 - 20\%)^{x}=1500，$整理可得$(\frac{4}{5})^{x}=\frac{3}{5}，$所以$x=\log_{\frac{4}{5}}\frac{3}{5}，$又$\log_{\frac{4}{5}}\frac{3}{5}=\log_{\frac{4}{5}}\frac{6}{10}=\frac{\lg\frac{6}{10}}{\lg\frac{8}{10}}=\frac{\lg6 - 1}{\lg8 - 1}=\frac{\lg2+\lg3 - 1}{3\lg2 - 1}\approx2.3，$所以$x\approx2.3. $故从现在起经过2.3小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.

例5　　响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业. 经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，$W(x)=\frac{1}{3}x^{2}+2x$. 在年产量不小于8万件时，$W(x)=7x+\frac{100}{x}-37$. 每件产品售价6元. 通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.
(1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式；(注：年利润 = 年销售收入 - 固定成本 - 流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
[课堂笔记]
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答案： 解
(1)因为每件商品售价6元，则x万件商品销售收入为6x万元.
依题意得，当0＜x＜8时，$P(x)=6x-(\frac{1}{3}x^{2}+2x)-2=-\frac{1}{3}x^{2}+4x - 2；$
当$x\geqslant8$时，$P(x)=6x-(7x+\frac{100}{x}-37)-2=35 - x-\frac{100}{x}.$故$P(x)=\begin{cases}-\frac{1}{3}x^{2}+4x - 2,0＜x＜8,\\35 - x-\frac{100}{x},x\geqslant8.\end{cases}(2)$当0＜x＜8时，$P(x)=-\frac{1}{3}(x - 6)^{2}+10.$此时，当x = 6时，P(x)取得最大值，为10.
当$x\geqslant8$时，$P(x)=35-(x+\frac{100}{x})\leqslant35 - 2\sqrt{x\cdot\frac{100}{x}}=15($当且仅当$x=\frac{100}{x}，$即x = 10时取等号).
此时，当x = 10时，P(x)取得最大值，为15.
因为10＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.

6.某企业自主开发出一款新产品A，计划在2025年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50000元，该企业每年最多可生产4万件A产品. 通过市场分析知，在2025年该企业每生产x千件A产品，需另投入生产成本R(x)千元，且$R(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x^{2}+60x,0 ＜ x\leqslant10\\70x+\frac{1800}{x}-230,10 ＜ x\leqslant40\end{cases}$.
(1)求该企业生产一件A产品的平均成本p(单位：元)关于x的函数关系式，并求平均成本p的最小值；(总成本 = 研发成本 + 生产成本)
(2)该企业欲使生产一件A产品的平均成本$p\leqslant66$元，求其年生产值x(单位：千件)的取值区间？
提示：同步《课时作业（B本）》P409

答案：
解
(1)由题知生产x千件的总成本为(R(x)+50)千元，
故生产一件的平均成本为$\frac{R(x)+50}{x}$元，
所以
当x∈(0,10]时,p(x)=1/x+60+单调递减，
故最小值为p
(20)=65.5，
因为70＞65.5，
所以生产一件A产品的平均成本最低为65.5元.
(2)由
(1)知，要使$p(x)\leqslant66，$只需考虑$x\in(10，$40]，
即$70+\frac{1800}{x^{2}}-\frac{180}{x}\leqslant66，$
结合x＞0，整理得$x^{2}-45x + 450\leqslant0，$
解得$15\leqslant x\leqslant30，$
所以当$x\in[15，$30]时，生产一件A产品的平均成本不超过66元.