《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 平面向量基本定理
如果$e_1,e_2$是同一平面内的两个$\underline{①}$______向量，那么对于这一平面内的任一向量$a$，$\underline{②}$______一对实数$\lambda_1,\lambda_2$，使$a = \lambda_1e_1+\lambda_2e_2$。
若$e_1,e_2$不共线，我们把$\{e_1,e_2\}$叫做表示这一平面内所有向量的一个$\underline{③}$______。

答案： ①不共线 ②有且只有 ③基底

2. 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个$\underline{④}$______的向量，叫做把向量作正交分解。

答案： ④互相垂直

3. 平面向量的坐标运算
（1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设$a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)$，则
$a + b=\underline{⑤}$______，$a - b=\underline{⑥}$______，$\lambda a=\underline{⑦}$______，$|a|=\underline{⑧}$______。
（2）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则$\overrightarrow{AB}=\underline{⑨}$______，$|\overrightarrow{AB}|=\underline{⑩}$______。

答案： ⑤$(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ ⑥$(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})$ ⑦$(\lambda x_{1},\lambda y_{1})$ ⑧$\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}$ ⑨$(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})$ ⑩$\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

4. 平面向量共线的坐标表示
设$a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)$，其中$b\neq0$，则$a// b\Leftrightarrow\underline{⑪}$______。

答案： ⑪$x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0$

诊断自测
1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）设$\{a,b\}$是平面内的一个基底，若实数$\lambda_1,\mu_1,\lambda_2,\mu_2$满足$\lambda_1a+\mu_1b=\lambda_2a+\mu_2b$，则$\lambda_1=\lambda_2,\mu_1=\mu_2$。 （ ）
（2）若$a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)$，则$a// b$的充要条件可以表示成$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$。 （ ）
（3）平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变。 （ ）

答案：
(1)√
(2)×
(3)√

2. 小题热身
（1）已知平面向量$a=(1,1),b=(1,-1)$，则向量$\frac{1}{2}a - \frac{3}{2}b=$ （ ）
A. $(-2,-1)$
B. $(-2,1)$
C. $(-1,0)$
D. $(-1,2)$

答案： D [
∵$\boldsymbol{a}=(1,1)$，$\boldsymbol{b}=(1,-1)$，
∴$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，$\frac{3}{2}\boldsymbol{b}=(\frac{3}{2},-\frac{3}{2})$，
∴$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{3}{2}\boldsymbol{b}=(\frac{1}{2}-\frac{3}{2},\frac{1}{2}+\frac{3}{2})=(-1,2)$. 故选 D.]

（2）（人教B必修第二册6.2.4例4改编）若$P_1(1,3),P_2(4,0)$，且$P$是线段$P_1P_2$的一个三等分点，则点$P$的坐标为 （ ）
A. $(2,2)$
B. $(3,-1)$
C. $(2,2)$或$(3,-1)$
D. $(2,2)$或$(3,1)$

答案： D [由题意可知$\overrightarrow{P_{1}P_{2}}=(3,-3)$. 若$\overrightarrow{P_{1}P}=\frac{1}{3}\overrightarrow{P_{1}P_{2}}$，则点$P$的坐标为$(2,2)$；若$\overrightarrow{P_{1}P}=\frac{2}{3}\overrightarrow{P_{1}P_{2}}$，则点$P$的坐标为$(3,1)$. 故选 D.]

（3）（人教A必修第二册6.3例5改编）已知$\square ABCD$的顶点$A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6)$，则顶点$D$的坐标为______。

答案： 答案$(1,5)$
解析 设$D(x,y)$，则由$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，得$(4,1)=(5 - x,6 - y)$，即$\begin{cases}4 = 5 - x\\1 = 6 - y\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = 5\end{cases}$. 故顶点$D$的坐标为$(1,5)$.

（4）（人教A必修第二册6.3例1改编）如图，$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$不共线，且$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}(t\in R)$，用$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{OP}$，则$\overrightarrow{OP}=$______。

答案： 答案$(1 - t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$
解析
∵$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OA}+t(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}-t\overrightarrow{OA}=(1 - t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$.