《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

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1.(2024·福建泉州中学阶段考试)记$S_{n}$为等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，若$a_{5}-a_{3}=12$，$a_{6}-a_{4}=24$，则$\frac{S_{n}}{a_{n}}=$（ ）
A. $2^{n}-1$
B. $2 - 2^{1 - n}$
C. $2 - 2^{n - 1}$
D. $2^{1 - n}-1$

答案： B [解法一：设等比数列{aₙ}的公比为q，则由$\begin{cases}a₅ - a₃=a₁q⁴ - a₁q²=12\\a₆ - a₄=a₁q⁵ - a₁q³=24\end{cases}$，解得$\begin{cases}a₁=1\\q=2\end{cases}$，所以Sₙ=$\frac{a₁(1 - qⁿ)}{1 - q}$=2ⁿ - 1，aₙ=a₁qⁿ⁻¹=2ⁿ⁻¹，所以$\frac{Sₙ}{aₙ}$=$\frac{2ⁿ - 1}{2ⁿ⁻¹}$=2 - 2¹⁻ⁿ. 故选B.
解法二：设等比数列{aₙ}的公比为q，因为$\frac{a₆ - a₄}{a₅ - a₃}$=$\frac{a₄(q² - 1)}{a₃(q² - 1)}$=$\frac{a₄}{a₃}$=$\frac{24}{12}$=2，所以q=2，所以$\frac{Sₙ}{aₙ}$=$\frac{a₁(1 - qⁿ)}{1 - q}$÷(a₁qⁿ⁻¹)=$\frac{2ⁿ - 1}{2ⁿ⁻¹}$=2 - 2¹⁻ⁿ. 故选B.]

2.(2023·全国甲卷)记$S_{n}$为等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和. 若$8S_{6}=7S_{3}$，则$\{ a_{n}\}$的公比为____.

答案： 答案 -$\frac{1}{2}$
解析 若q=1，则由8S₆=7S₃得8·6a₁=7·3a₁，则a₁=0，不符合题意，所以q≠1. 当q≠1时，因为8S₆=7S₃，所以8·$\frac{a₁(1 - q⁶)}{1 - q}$=7·$\frac{a₁(1 - q³)}{1 - q}$，即8(1 - q⁶)=7(1 - q³)，即8(1 + q³)(1 - q³)=7(1 - q³)，即8(1 + q³)=7，解得q=-$\frac{1}{2}$.

例2　　(1)在各项都为正数的等比数列$\{ a_{n}\}$中，已知$0\lt a_{1}\lt1$，其前$n$项之积为$T_{n}$，且$T_{12}=T_{6}$，则$T_{n}$取得最小值时，$n$的值是____.

答案： 答案 9
解析 由T₁₂=T₆，得$\frac{T₁₂}{T₆}$=1，即a₇a₈a₉a₁₀a₁₁a₁₂=(a₉a₁₀)³=1，故a₉a₁₀=1，因为a₁a₁₈=a₉a₁₀，则a₁a₁₈=1，由于0＜a₁＜1，得a₁₈＞1，所以等比数列{aₙ}是递增数列，故0＜a₉＜1＜a₁₀，则Tₙ取得最小值时，n=9.

(2)(2023·湖南师大附中模拟)在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}=\frac{12}{5}$，$a_{4}a_{5}=-\frac{2}{5}$，则$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+\frac{1}{a_{4}}+\frac{1}{a_{5}}+\frac{1}{a_{6}}+\frac{1}{a_{7}}+\frac{1}{a_{8}}=$____.

答案： 答案 -6
解析 $\frac{1}{a₁}$+$\frac{1}{a₂}$+$\frac{1}{a₃}$+$\frac{1}{a₄}$+$\frac{1}{a₅}$+$\frac{1}{a₆}$+$\frac{1}{a₇}$+$\frac{1}{a₈}$=$\frac{a₁ + a₈}{a₁a₈}$+$\frac{a₂ + a₇}{a₂a₇}$+$\frac{a₃ + a₆}{a₃a₆}$+$\frac{a₄ + a₅}{a₄a₅}$，
∵在等比数列{aₙ}中，a₄a₅=-$\frac{2}{5}$，则a₁a₈=a₂a₇=a₃a₆=a₄a₅=-$\frac{2}{5}$，
∴原式=-$\frac{5}{2}$(a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ + a₈)=-$\frac{5}{2}$×$\frac{12}{5}$=-6.

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3. 公比不为1的等比数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{5}a_{6}+a_{4}a_{7}=8$，若$a_{2}a_{m}=4$，则$m$的值为（ ）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11

答案： B [
∵公比不为1的等比数列{aₙ}满足a₅a₆ + a₄a₇=8，
∴a₅a₆=a₄a₇=4，又a₂aₘ=4，
∴2 + m=5 + 6=11，解得m=9. 故选B.]

4.(2023·北京东城区模拟)设等比数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}+a_{2}=48$，$a_{4}+a_{5}=6$，则公比$q =$____，$\log_{2}(a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n})$的最大值为____.

答案： 答案 $\frac{1}{2}$ 15
解析 因为a₁ + a₂=48，所以由a₄ + a₅=6，可得q³(a₁ + a₂)=6，q³=$\frac{1}{8}$，q=$\frac{1}{2}$. 由a₁ + a₂=48，可得a₁+$\frac{1}{2}$a₁=48⇒a₁=32，所以aₙ=32·($\frac{1}{2}$)ⁿ⁻¹=2⁶⁻ⁿ，log₂(a₁a₂a₃…aₙ)=log₂(2⁵·2⁴·…·2⁶⁻ⁿ)=log₂2^($\frac{(5 + 4 + … + 6 - n)n}{2}$)=$\frac{n(11 - n)}{2}$，因为$\frac{n(11 - n)}{2}$=-$\frac{1}{2}$(n - $\frac{11}{2}$)²+$\frac{121}{8}$，n∈N*，所以n=5或6时，$\frac{n(11 - n)}{2}$有最大值，为15.

例3　　(1)(2023·新课标Ⅱ卷)记$S_{n}$为等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，若$S_{4}=-5$，$S_{6}=21S_{2}$，则$S_{8}=$（ ）
A. 120
B. 85
C. -85
D. -120

答案： C [解法一：设等比数列{aₙ}的公比为q，若q=1，则S₆=6a₁=3×2a₁=3S₂，与题意不符，所以q≠1；由S₄=-5，S₆=21S₂可得，$\frac{a₁(1 - q⁴)}{1 - q}$=-5，$\frac{a₁(1 - q⁶)}{1 - q}$=21×$\frac{a₁(1 - q²)}{1 - q}$ ①，由①可得，1 + q² + q⁴=21，解得q²=4，所以S₈=$\frac{a₁(1 - q⁸)}{1 - q}$=$\frac{a₁(1 - q⁴)}{1 - q}$×(1 + q⁴)=-5×(1 + 16)=-85. 故选C.
解法二：设等比数列{aₙ}的公比为q，因为S₄=-5，S₆=21S₂，所以q≠-1，否则S₄=0，从而S₂，S₄ - S₂，S₆ - S₄，S₈ - S₆成等比数列，所以(-5 - S₂)²=S₂(21S₂ + 5)，解得S₂=-1或S₂=$\frac{5}{4}$.
当S₂=-1时，S₂，S₄ - S₂，S₆ - S₄，S₈ - S₆，即为 - 1，- 4，- 16，S₈ + 21，易知S₈ + 21=-64，即S₈=-85；当S₂=$\frac{5}{4}$时，S₄=a₁ + a₂ + a₃ + a₄=(a₁ + a₂)(1 + q²)=(1 + q²)S₂＞0，与S₄=-5矛盾，舍去. 故选C.]

(2)已知等比数列$\{ a_{n}\}$共有$2n$项，其和为 -240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比$q =$____.

答案： 答案 2
解析 由题意，得$\begin{cases}S奇 + S偶=-240\\S奇 - S偶=80\end{cases}$，解得$\begin{cases}S奇=-80\\S偶=-160\end{cases}$，所以q=$\frac{S偶}{S奇}$=$\frac{-160}{-80}$=2.

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5. 等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$S_{n}=t\cdot2^{n - 1}-1$，则$t =$（ ）
A. 2
B. -2
C. 1
D. -1

答案： A [设等比数列的公比为q，当q=1时，Sₙ=na₁，不符合题意；当q≠1时，等比数列的前n项和公式为Sₙ=$\frac{a₁(1 - qⁿ)}{1 - q}$=-$\frac{a₁}{1 - q}$·qⁿ+$\frac{a₁}{1 - q}$，依题意Sₙ=t·2ⁿ⁻¹ - 1=$\frac{1}{2}$t·2ⁿ - 1，即$\frac{1}{2}$t+( - 1)=0，解得t=2. 故选A.]

6.(2024·湖南岳阳一中月考)已知正项等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$S_{8}-2S_{4}=5$，则$a_{9}+a_{10}+a_{11}+a_{12}$的最小值为____.

答案： 答案 20
解析 在正项等比数列{aₙ}中，Sₙ＞0，因为S₈ - 2S₄=5，则S₈ - S₄=5 + S₄，易知S₄，S₈ - S₄，S₁₂ - S₈是等比数列，所以(S₈ - S₄)²=S₄·(S₁₂ - S₈)，所以S₁₂ - S₈=$\frac{(S₄ + 5)²}{S₄}$=$\frac{25}{S₄}$+S₄ + 10≥2$\sqrt{\frac{25}{S₄}·S₄}$+10=20(当且仅当S₄=5时取等号). 因为a₉ + a₁₀ + a₁₁ + a₁₂=S₁₂ - S₈，所以a₉ + a₁₀ + a₁₁ + a₁₂的最小值为20.

例4　　(多选)(2024·河北涿州模拟)设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，其前$n$项和为$S_{n}$，前$n$项积为$T_{n}$，并满足条件$a_{1}\gt1$，$a_{2023}a_{2024}\gt1$，$\frac{a_{2023}-1}{a_{2024}-1}\lt0$，下列结论正确的是（ ）
A. $S_{2023}\lt S_{2024}$
B. $a_{2023}a_{2025}-1\lt0$
C. $T_{2024}$是数列$\{ T_{n}\}$中的最大项
D. 数列$\{ T_{n}\}$无最大项

答案： AB [当q＜0时，a₂₀₂₃a₂₀₂₄=a₂₀₂₃²q＜0，与已知矛盾；当q≥1时，a₂₀₂₃＞1，a₂₀₂₄＞1，$\frac{a₂₀₂₃ - 1}{a₂₀₂₄ - 1}$＞0，与已知矛盾，故0＜q＜1，且a₂₀₂₃＞1，0＜a₂₀₂₄＜1，故S₂₀₂₄＞S₂₀₂₃，A正确；a₂₀₂₃a₂₀₂₅ - 1=a₂₀₂₄² - 1＜0，B正确；T₂₀₂₃是数列{Tₙ}中的最大项，C，D错误. 故选AB.]