《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

3.如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，EF与AD不重合. 求证：四边形BCFE是梯形.

答案： [巩固迁移] 3.证明
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC$//$AD.
∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
∴BC$//$平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC⊂平面BCFE，
∴BC$//$EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，
∴BC≠EF，
∴四边形BCFE是梯形.

例4　　(2024·江西九江一中质检)在三棱柱
ABC−A₁B₁C₁中,
　(1)若E,F,G,H分别是AB，
　AC,A₁B₁,A₁C₁的中点，求
　证:平面EFA₁//平面BCHG;
　　　　　　　　　　　　　
　(2)若D,D₁分别是AC,A₁C₁
　上的点,且平面BC₁D//平面
　AB₁D₁,试求$\frac{AD}{DC}$的值.
　

答案：
例4 解
(1)证明：
∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF$//$BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF$//$平面BCHG，
∵A1G$//$EB，A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E$//$GB，又A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E$//$平面BCHG，
又A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，
∴平面EFA1$//$平面BCHG.
(2)如图，连接A1B，AB1，设A1B与AB1相交于点O，连接OD1，
由平面BC1D$//$平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
∴BC1$//$D1O，同理可得AD1$//$DC1，
∴$\frac{A1D1}{D1C1}$=$\frac{A1O}{OB}$=1，即D1为线段A1C1的中点，
∴D为线段AC的中点，即$\frac{AD}{DC}$=1.

4.如图,在三棱柱ABC−A₁B₁C₁中,E,F,G分别为B₁C₁,A₁B₁,AB的中点.
　(1)求证:平面A₁C₁G//平面BEF;
　(2)若平面A₁C₁G∩BC = H,求证:H为BC的中点.
　　　　　　　　　　　　

答案：
[巩固迁移] 4.证明
(1)
∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，
∴EF$//$A1C1，
∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，
∴EF$//$平面A1C1G，
又F，G分别为A1B1，AB的中点，
∴A1F＝BG，又A1F$//$BG，
∴四边形A1GBF为平行四边形，
则BF$//$A1G，
∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，
∴BF$//$平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，
∴平面A1C1G$//$平面BEF.
(2)
∵平面ABC$//$平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G∩平面ABC＝GH，
则A1C1$//$GH，
又A1C1$//$AC，
∴GH$//$AC，
∵G为AB的中点，
∴H为BC的中点.