《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

诊断自测
1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在△ABC中，若$\sin A ＞ \sin B$，则$A ＞ B$. （ ）
（2）当$b^{2}+c^{2}-a^{2}＞0$时，△ABC为锐角三角形. （ ）
（3）在△ABC中，已知a，b，A，则三角形有唯一解. （ ）
（4）在△ABC中，若$A:B:C = 1:2:3$，则$a:b:c = 1:2:3$. （ ）

答案：
(1)√
(2)×
(3)×
(4)×

2. 小题热身
（1）（人教B必修第四册第九章小结复习题A组T2改编）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若$b^{2}+c^{2}=a^{2}+\sqrt{3}bc$，则角A的大小为（ ）
A. $\frac{5\pi}{6}$ B. $\frac{2\pi}{3}$ C. $\frac{\pi}{3}$ D. $\frac{\pi}{6}$

答案： D [因为$b^{2}+c^{2}=a^{2}+\sqrt{3}bc$，所以由余弦定理可得$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{\sqrt{3}bc}{2bc}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因为$0 ＜ A ＜ \pi$，所以$A=\frac{\pi}{6}$.]

（2）（人教A必修第二册复习参考题6 T11改编）在△ABC中，$A = 30^{\circ}$，$C = 45^{\circ}$，$c = \sqrt{2}$，则a的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： B [因为在$\triangle ABC$中，$A = 30^{\circ}$，$C = 45^{\circ}$，$c = \sqrt{2}$，所以由正弦定理可得$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，即$a=\frac{c}{\sin C}\cdot\sin A=\frac{\sqrt{2}}{\sin45^{\circ}}\times\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\times\frac{1}{2}=1$.]

（3）在△ABC中，已知$a = 2$，$b = 3$，$B = 30^{\circ}$，则此三角形（ ）
A. 有一解 B. 有两解
C. 无解 D. 无法判断有几解

答案： A [在$\triangle ABC$中，$a = 2$，$b = 3$，$B = 30^{\circ}$，由正弦定理，得$\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{2\sin30^{\circ}}{3}=\frac{1}{3}$，而$a ＜ b$，则$A ＜ B = 30^{\circ}$，即$A$为锐角，所以此三角形有一解.]

（4）在△ABC中，若$a = 7$，$b = 5$，$c = 3$，则$A =$________.

答案： 答案 $120^{\circ}$
解析 由余弦定理，得$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=-\frac{1}{2}$. 又$0^{\circ} ＜ A ＜ 180^{\circ}$，所以$A = 120^{\circ}$.

（5）在△ABC中，角A，B，C满足$\sin A\cos C - \sin B\cos C = 0$，则此三角形的形状为________.

答案： 答案 直角三角形或等腰三角形
解析 由已知，得$\cos C(\sin A - \sin B)=0$，所以$\cos C = 0$或$\sin A = \sin B$，解得$C = 90^{\circ}$或$A = B$，所以$\triangle ABC$是直角三角形或等腰三角形.

例1　　(2024·江西红色十校联考)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosA =bsinB+csinC−2csinBcosA.
　(1)求A;
　(2)若a=$\sqrt{2}$,sinB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$,求b和c.

答案： 解
(1)设△ABC外接圆的半径为R，
因为acosA = bsinB + csinC - 2csinBcosA，
所以由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，得
$a\cdot2R\cos A = b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$，
结合余弦定理$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$，得
$a\cdot2R\cos A = a^{2}$，因为$a\neq0$，
所以$2R\cos A = a = 2R\sin A$，所以$\cos A=\sin A$，
因为$A\in(0,\pi)$，所以$A = \frac{\pi}{4}$。
(2)由
(1)知$A = \frac{\pi}{4}$，所以$2R=\frac{a}{\sin A}=2$，
所以$b = 2R\sin B = 2\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
由余弦定理$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$，得$2 = (\sqrt{2})^{2}+c^{2}-2\times\sqrt{2}c\times\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$c^{2}-2c = 0$，
解得$c = 2$或$c = 0$（舍去）。
综上，$b = \sqrt{2}$，$c = 2$。