《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

4.已知$F_{1}$,$F_{2}$为椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的两个焦点，若$P(1,\frac{3}{2})$在椭圆上，且满足$|PF_{1}|+|PF_{2}|=4$，则椭圆$C$的方程为______________.

答案： $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$

5.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过$P_{1}(\sqrt{6},1)$，$P_{2}(-\sqrt{3},-\sqrt{2})$两点，则该椭圆的方程为__________________.

答案： $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{3}=1$

考向1　椭圆的长轴、短轴、焦距
例5　　已知椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$与椭圆$\frac{x^{2}}{25 - k}+\frac{y^{2}}{9 - k}=1(k＜9$，且$k≠0)$，则两椭圆必定　　　(　　　)
A.有相等的长轴长　　B.有相等的焦距
C.有相等的短轴长　　D.有相同的离心率
[课堂笔记]　______________________________

答案： B

6.若连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，则长轴长与短轴长之比为
　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.2　　　　　　　　　B.2$\sqrt{3}$
C.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　　D.4

答案： C

7.(2024·河北沧州统考期末)焦点在$x$轴上的椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1$的长轴长为$4\sqrt{3}$，则其焦距为________.

答案： $6$

考向2　椭圆的离心率
例6　　(1)(2024·江苏镇江模拟)设椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$,$F_{2}$，过$F_{2}$作$x$轴的垂线与$C$交于$A$,$B$两点，$F_{1}B$与$y$轴交于点$D$，若$AD\perp F_{1}B$，则椭圆$C$的离心率为________.

答案：
(1)$\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2)(2024·广东七校联考)已知$F_{1}$,$F_{2}$是椭圆的两个焦点，满足$\overrightarrow{MF_{1}}\cdot\overrightarrow{MF_{2}}=0$的点$M$总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是____.

答案：
(2)$(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$

8.(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆$C_{1}:\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1 (a＞1)$，$C_{2}:\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的离心率分别为$e_{1}$,$e_{2}$.若$e_{2}=\sqrt{3}e_{1}$，则$a=$　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$　
　B.$\sqrt{2}$　　
　C.$\sqrt{3}$　　
　D.$\sqrt{6}$

答案： A