《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例1　已知幂函数$f(x)=(a^{2}-3)x^{\frac{1}{2}a^{2}+a - 2}$在$(0,+\infty)$上单调递减，函数$h(x)=3^{x}+m$，对任意$x_{1}\in[1,3]$，总存在$x_{2}\in[1,2]$，使得$f(x_{1}) = h(x_{2})$，则$m$的取值范围为________。
[课堂笔记]

答案： 答案 $\left[-8,-\frac{26}{9}\right]$
解析 $\because f(x)=(a^{2}-3)x^{\frac{1}{2}a^{2}+a - 2}$是幂函数，$\therefore a^{2}-3 = 1$，即$a=\pm2$，又$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，则$\frac{1}{2}a^{2}+a - 2＜0$，可得$a = - 2$，$\therefore f(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}$，$\therefore f(x)$在$[1,3]$上的值域为$\left[\frac{1}{9},1\right]$。
又$h(x)$在$[1,2]$上的值域为$[3 + m,9 + m]$，根据题意得$\begin{cases}9 + m\geqslant1\\3 + m\leqslant\frac{1}{9}\end{cases}$，解得$-8\leqslant m\leqslant-\frac{26}{9}$，$\therefore m$的取值范围为$\left[-8,-\frac{26}{9}\right]$。

对点训练
1. 设函数$f(x)=\frac{4^{x}}{2^{x}-1}-2,g(x)=x^{2}-ax + 1$，若$\forall x_{1}\in[1,2],\exists x_{2}\in[1,2],f(x_{1}) = g(x_{2})$，求正实数$a$的取值范围。

答案： 解 $f(x)=\frac{4^{x}-1}{2^{x}-1}-2=\frac{(2^{x})^{2}-1 + 1 - 2}{2^{x}-1}=2^{x}-1+\frac{1}{2^{x}-1}$，
设$t = 2^{x}-1$，$x\in[1,2]$，则$t\in[1,3]$，
又$y=t+\frac{1}{t}$在$[1,3]$上单调递增，
则$2\leqslant y\leqslant\frac{10}{3}$，
即$f(x)$的值域为$\left[2,\frac{10}{3}\right]$。
设当$x\in[1,2]$时，函数$g(x)$的值域为$A$，
讲义部分答案与详解 505
由题意知$\left[2,\frac{10}{3}\right]\subseteq A$。
又$g(x)$图象的对称轴为直线$x=\frac{a}{2}＞0$，
当$\frac{a}{2}\leqslant1$，即$0 ＜ a\leqslant2$时，$g(x)$在$[1,2]$上单调递增，
则$\begin{cases}g(1)\leqslant2\\g(2)\geqslant\frac{10}{3}\end{cases}$，解得$0 ＜ a\leqslant\frac{5}{6}$；
当$1＜\frac{a}{2}＜2$，即$2 ＜ a ＜ 4$时，$g(x)$在$[1,2]$上的最大值为$g(1)$，$g(2)$中的较大者，而$g(1)=2 - a＜0$且$g(2)=5 - 2a＜1$，不符合题意；
当$\frac{a}{2}\geqslant2$，即$a\geqslant4$时，$g(x)$在$[1,2]$上单调递减，
则$\begin{cases}g(1)\geqslant\frac{10}{3}\\g(2)\leqslant2\end{cases}$，满足条件的$a$不存在。
综上，正实数$a$的取值范围为$\left(0,\frac{5}{6}\right]$。

例2　已知函数$f(x)=2x$，函数$g(x)=kx - 2k + 2(k＞0)$，若存在$x_{1}\in[0,\frac{1}{2}]$及$x_{2}\in[0,\frac{1}{2}]$，使得$f(x_{1}) = g(x_{2})$成立，求实数$k$的取值范围。
[课堂笔记]

答案： 解 由题意，易得函数$f(x)$的值域为$[0,1]$，$g(x)$的值域为$\left[2 - 2k,2-\frac{3k}{2}\right]$，并且两个值域有公共部分。
若两个值域没有公共部分，则$2 - 2k＞1$或$2-\frac{3k}{2}＜0$，
解得$k＜\frac{1}{2}$或$k＞\frac{4}{3}$，所以要使两个值域有公共部分，实数$k$的取值范围是$\left[\frac{1}{2},\frac{4}{3}\right]$。