《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

6.(多选)(2024·河北尚义高三联考)已知$a=\log_{8}27，b=\log_{9}16，c=\log_{4}8$，则　　　　　(　　　)
　
A. $a ＜ b$　
　B. $a ＞ c$　
　C. $b ＜ c$　
　D. $b ＜ a$

答案： BCD　[因为$a=\log_{8}27=\log_{2^{3}}3^{3}=\log_{2}3$，$b=\log_{9}16=\log_{3^{2}}4$，$c=\log_{4}8=\frac{3}{2}$，所以$\frac{a}{b}=\frac{\log_{2}3}{\log_{3}4}=\frac{\ln 3}{\ln 2}\cdot\frac{\ln 3}{\ln 4}=\frac{6\ln 3\cdot\ln 3}{6\ln 2\cdot\ln 4}=\frac{2\ln 3}{3\ln 2}\cdot\frac{3\ln 3}{2\ln 4}=\frac{\ln 9}{\ln 8}\cdot\frac{\ln 27}{\ln 16}＞1$，又$a$，$b$均大于0，所以$a ＞ b$，故A错误，D正确；因为$a=\log_{2}3＞\log_{2}2\sqrt{2}=\frac{3}{2}=c$，所以$a ＞ c$，故B正确；因为$16 ＜ 3^{3}$，即$4 ＜ 3^{\frac{3}{2}}$，所以$b=\log_{9}16=\log_{3}4＜\log_{3}3^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}=c$，即$b ＜ c$，故C正确. 故选BCD.]

例4　　(1)已知函数$f(x)=\log_{2}x - x + 1$，则不等式$f(x)＜0$的解集是　　　　　　　　　(　　　)
　
A. $(1，2)$
　
B. $(-\infty，1)\cup(2，+\infty)$
　
C. $(0，2)$
　
D. $(0，1)\cup(2，+\infty)$

答案： D　[依题意，$f(x)＜0$等价于$\log_{2}x＜x - 1$，在同一坐标系中作出$y=\log_{2}x$，$y=x - 1$的图象，如图所示，可得$\log_{2}x＜x - 1$的解集为$(0,1)\cup(2,+\infty)$. 故选D.]

(2)不等式$\log_{\frac{1}{2}}(\sqrt{x}+1)-\log_{\frac{1}{2}}(\sqrt{x}-1)＜-\frac{1}{2}$
　的解集是________.

答案： 答案　$(1,17 + 12\sqrt{2})$
　解析　因为$\log_{\frac{1}{2}}(\sqrt{x}+1)-\log_{\frac{1}{2}}(\sqrt{x}-1)＜-\frac{1}{2}$可化为$\log_{\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}＜-\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}＞\sqrt{2}\Rightarrow1＜\sqrt{x}＜3 + 2\sqrt{2}$，所以$x\in(1,17 + 12\sqrt{2})$，即原不等式的解集为$(1,17 + 12\sqrt{2})$.

7. 已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，当$x\leqslant0$时，$f(x)$单调递减，则不等式$f(\log_{\frac{1}{2}}(2x - 5))＞f(\log_{3}8)$的解集为________.

答案： 答案　$(\frac{5}{2},\frac{41}{16})\cup(\frac{13}{2},+\infty)$
　解析　因为函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且在$(-\infty,0]$上单调递减，所以可将$f(\log_{\frac{1}{3}}(2x - 5))＞f(\log_{3}8)$化为$|\log_{\frac{1}{3}}(2x - 5)|＞|\log_{3}8|$，即$\log_{3}(2x - 5)＞\log_{3}8$或$\log_{3}(2x - 5)＜-\log_{3}8=\log_{3}\frac{1}{8}$，即$2x - 5＞8$或$0＜2x - 5＜\frac{1}{8}$，解得$x＞\frac{13}{2}$或$\frac{5}{2}＜x＜\frac{41}{16}$.

例5　　(多选)(2024·广东部分地市高三模拟)
　已知函数$f(x)=\ln(x^{2}+x + m)(m\in\mathbf{R})$，则
　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A. 当$m＞\frac{1}{4}$时，$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$
　
B. $f(x)$一定存在最小值
　
C. $f(x)$的图象关于直线$x = -\frac{1}{2}$对称
D. 当$m\geqslant1$时，$f(x)$的值域为$\mathbf{R}$

答案： AC　[对于A，若$m＞\frac{1}{4}$，则$\Delta = 1 - 4m＜0$，则二次函数$y=x^{2}+x + m$的图象恒在$x$轴的上方，即$x^{2}+x + m＞0$恒成立，所以$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，故A正确；对于B，若$m = 0$，则$f(x)=\ln(x^{2}+x)$的定义域为$(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$，值域为$\mathbf{R}$，没有最小值，故B错误；对于C，由于函数$y=\ln(x^{2}+m-\frac{1}{4})$为偶函数，其图象关于$y$轴对称，将该函数的图象向左平移$\frac{1}{2}$个单位长度即可得到函数$f(x)=\ln[(x+\frac{1}{2})^{2}+m-\frac{1}{4}]=\ln(x^{2}+x + m)$的图象，所以$f(x)$图象的对称轴为直线$x = -\frac{1}{2}$，故C正确；对于D，若$m\geqslant1$，则$y=x^{2}+x + m=(x+\frac{1}{2})^{2}+m-\frac{1}{4}\geqslant\frac{3}{4}$，故$f(x)$的值域不是$\mathbf{R}$，故D错误. 故选AC.]

8. 已知函数$f(x)=\lg(x^{2}-4x - 5)$在$(a，+\infty)$上单调递增，则$a$的取值范围是　　　　(　　　)
　
A. $(-\infty，-1]$　　　　B. $(-\infty，2]$
　
C. $[2，+\infty)$　　　　　D. $[5，+\infty)$

答案： D[由$x^{2}-4x - 5＞0$，解得$x＞5$或$x＜-1$，所以函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,-1)\cup(5,+\infty)$. 又函数$y=x^{2}-4x - 5$在$(5,+\infty)$上单调递增，在$(-\infty,-1)$上单调递减，所以函数$f(x)=\lg(x^{2}-4x - 5)$在$(5,+\infty)$上单调递增，所以$a\geqslant5$. 故选D.]

9. 已知$f(x)=1+\log_{3}x(1\leqslant x\leqslant9)$，设函数$g(x)=[f(x)]^{2}+f(x^{2})$，则$g(x)_{\max}-g(x)_{\min}=$________.

答案： 答案　5
　解析　由题意得$\begin{cases}1\leqslant x\leqslant9\\1\leqslant x^{2}\leqslant9\end{cases}$，$\therefore1\leqslant x\leqslant3$，$\therefore g(x)$的定义域为$[1,3]$，$g(x)=[f(x)]^{2}+f(x^{2})=(1+\log_{3}x)^{2}+1+\log_{3}x^{2}=(\log_{3}x)^{2}+4\log_{3}x + 2$，设$t=\log_{3}x$，则$0\leqslant t\leqslant1$，则$y=t^{2}+4t + 2=(t + 2)^{2}-2$在$[0,1]$上单调递增，$\therefore$当$t = 0$，即$x = 1$时，$g(x)_{\min}=2$，当$t = 1$，即$x = 3$时，$g(x)_{\max}=7$，$\therefore g(x)_{\max}-g(x)_{\min}=5$.