《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例1 (2023·浙江校考模拟预测)已知点A(2,0)，$B(-\frac{6}{5},-\frac{4}{5})$在椭圆$M:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$上.
(1)求椭圆M的方程；
(2)直线l与椭圆M交于C，D两个不同的点(异于A，B)，过C作x轴的垂线分别交直线AB，AD于点P，Q，当P是CQ的中点时，证明：直线l过定点.

答案：
解　
(1)由题意知a = 2，又椭圆经过B(-$\frac{6}{5}$,-$\frac{4}{5}$)，代入可得$\frac{1}{4}$×(-$\frac{6}{5}$)²+$\frac{1}{b^{2}}$×(-$\frac{4}{5}$)²=1，解得b²=1，
故椭圆M的方程为$\frac{x^{2}}{4}$+y²=1.
(2)证明:由题意知，当l⊥x轴时，不符合题意，故l的斜率存在，设直线l
的方程为y = kx + m，
联立$\begin{cases}y = kx + m\\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\end{cases}$，消去y，

得(4k²+1)x²+8kmx+4m²−4 = 0，
则Δ = 64k²m²−16(m²−1)(4k²+1)=16(4k²−m²+1)＞0，
即4k²+1＞m².
设C(x₁,y₁)，D(x₂,y₂)，x₁+x₂=$\frac{-8km}{4k²+1}$，x₁x₂=$\frac{4m²−4}{4k²+1}$.
直线AB的方程为y=$\frac{1}{4}$(x - 2)，
令x = x₁，得P(x₁,$\frac{x₁−2}{4}$)，
直线AD的方程为y=$\frac{y₂}{x₂−2}$(x - 2)，
令x = x₁，得Q(x₁,$\frac{x₁−2}{x₂−2}$y₂)，
由P是CQ的中点，得$\frac{x₁−2}{2}$=y₁+$\frac{x₁−2}{x₂−2}$y₂，
即$\frac{y₁}{x₁−2}$+$\frac{y₂}{x₂−2}$=$\frac{1}{2}$，
即(kx₁+m)(x₂−2)+(kx₂+m)(x₁−2)=$\frac{1}{2}$[x₁x₂−2(x₁+x₂)+4]，
即(1 - 4k)x₁x₂+(4k - 2m - 2)(x₁+x₂)+4 + 8m = 0，
即4m²+(16k + 8)m+16k²+16k = 0，
所以(m + 2k)(m + 2k + 2)=0，
得m = - 2k - 2或m = - 2k.
当m = - 2k - 2时，由4k²+1＞m²，得k＜-$\frac{3}{8}$，符合题意；当m = - 2k时，直线l经过点A，与题意不符，舍去.
所以直线l的方程为y = kx - 2k - 2，
即y = k(x - 2)-2，
所以直线l过定点(2,-2).

变式训练 1.(2023·福建名校联盟模拟)设抛物线$C:y^{2}=2px(p＞0)$的焦点为F，点A的坐标为(3，-2).已知点P是抛物线C上的动点，|PA|+|PF|的最小值为4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线PA与C交于另一点Q，经过点B(3，-6)和点Q的直线与C交于另一点T，证明：直线PT过定点.

答案：
解　
(1)若A和F在抛物线y²=2px的同侧，则(-2)²＜3×2p，
解得p＞$\frac{2}{3}$.
设点P在准线上的射影为H，于是|PF| = |PH|.
过A作AH'与准线垂直，垂足为H'，
故|PF|+|PA| = |PH|+|PA|≥|AH'| = 3+$\frac{p}{2}$=4，
当且仅当A，P，H三点共线时取等号，由此得p = 2＞$\frac{2}{3}$，符合题意；
若A和F在抛物线的异侧或A在抛物线上，

则p≤$\frac{2}{3}$.
由|PF|+|PA|≥|AF|=$\sqrt{(3-\frac{p}{2})^{2}+(-2)^{2}}$=4，
当且仅当A，P，F三点共线(或A与P重合)时取等号，得到p = 6±4$\sqrt{3}$(舍去).
综上所述，抛物线C的方程为y²=4x.
(2)设Q($\frac{y_{0}^{2}}{4}$,$y_{0}$)，P($\frac{y_{1}^{2}}{4}$,$y_{1}$)，T($\frac{y_{2}^{2}}{4}$,$y_{2}$).

直线QP的斜率k$_{QP}$=$\frac{y_{0}-y_{1}}{\frac{y_{0}^{2}}{4}-\frac{y_{1}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{y_{0}+y_{1}}$，
则其方程为y=$\frac{4}{y_{0}+y_{1}}$(x-$\frac{y_{0}^{2}}{4}$)+y$_{0}$=$\frac{4x + y_{0}y_{1}}{y_{0}+y_{1}}$.
同理可得直线QT的方程为y=$\frac{4x + y_{0}y_{2}}{y_{0}+y_{2}}$，直线PT的方程为y=$\frac{4x + y_{1}y_{2}}{y_{1}+y_{2}}$.
将A(3,-2)，B(3,-6)分别代入直线QP，QT的方程，可得$\begin{cases}-2=\frac{12 + y_{0}y_{1}}{y_{0}+y_{1}}\\-6=\frac{12 + y_{0}y_{2}}{y_{0}+y_{2}}\end{cases}$，消去y$_{0}$，可得y₁y₂=12，
代入直线PT的方程y=$\frac{4x + y_{1}y_{2}}{y_{1}+y_{2}}$，
化简得y=$\frac{4x + 12}{y_{1}+y_{2}}$=$\frac{4}{y_{1}+y_{2}}$(x + 3)，
故直线PT过定点(-3,0).