《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

2. 等差数列的有关公式
　(1) 通项公式: $a_{n}=$____.

答案： $a_{1}+(n - 1)d$

　(2) 前$n$项和公式: $S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$或$S_{n}=$____.

答案： $na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d$

3. 等差数列的常用性质
　(1) 通项公式的推广: $a_{n}=a_{m}+$____（$n$，$m\in\mathbf{N}^{*}$）.

答案： $(n - m)d$

1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
　(1) 等差数列的前$n$项和$S_{n}$是项数为$n$的二次函数. （ ）
　(2) 数列$\{ a_{n}\}$为等差数列的充要条件是对任意$n\in\mathbf{N}^{*}$，都有$2a_{n + 1}=a_{n}+a_{n + 2}$. （ ）
　(3) 等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=\frac{n(a_{m}+a_{n + 1 - m})}{2}$. （ ）
　(4) 设等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，则$S_{n}$与$a_{n}$不可能相等. （ ）

答案：
(1)×
(2)√
(3)√
(4)×

2. 小题热身
　(1) （2023·福建福州质检）在等差数列$\{ a_{n}\}$中，若$a_{1}+a_{2}=5$，$a_{3}+a_{4}=15$，则$a_{5}+a_{6}=$（ ）
A. 10
B. 20
C. 25
D. 30

答案： C [等差数列$\{a_{n}\}$中，每相邻 2 项的和仍然构成等差数列，设其公差为$d$，若$a_{1}+a_{2}=5$，$a_{3}+a_{4}=15$，则$d = 15 - 5 = 10$，因此$a_{5}+a_{6}=(a_{3}+a_{4})+d = 15 + 10 = 25$. 故选 C.]

　(2) （北师大版选择性必修第二册2.2练习3（2）改编）设数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，其前$n$项和为$S_{n}$，若$a_{6}=2$且$S_{5}=30$，则$S_{8}=$（ ）
A. 31
B. 32
C. 33
D. 34

答案： B [解法一：由$S_{5}=5a_{3}=30$，得$a_{3}=6$，又$a_{6}=2$，$\therefore S_{8}=\frac{8(a_{1}+a_{8})}{2}=\frac{8(a_{3}+a_{6})}{2}=\frac{8\times(6 + 2)}{2}=32$. 故选 B. 解法二：设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，由$\begin{cases}a_{1}+5d = 2,\\5a_{1}+\frac{5\times4}{2}d = 30,\end{cases}$得$\begin{cases}a_{1}=\frac{26}{3},\\d = -\frac{4}{3},\end{cases}$ $\therefore S_{8}=8a_{1}+\frac{8\times7}{2}d = 8\times\frac{26}{3}-28\times\frac{4}{3}=32$. 故选 B.]

　(3) （2022·全国乙卷）记$S_{n}$为等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和. 若$2S_{3}=3S_{2}+6$，则公差$d =$____.

答案： 答案 2 解析 由$2S_{3}=3S_{2}+6$可得$2(a_{1}+a_{2}+a_{3})=3(a_{1}+a_{2})+6$，化简得$2a_{3}=a_{1}+a_{2}+6$，即$2(a_{1}+2d)=2a_{1}+d + 6$，解得$d = 2$.

　(4) （人教A选择性必修第二册4.2.2例8改编）某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为____.

答案： 答案 820 解析 设第$n$排的座位数为$a_{n}(n\in N^{*})$，数列$\{a_{n}\}$为等差数列，其公差$d = 2$，则$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d=a_{1}+2(n - 1)$. 由已知$a_{20}=60$，得$60=a_{1}+2\times(20 - 1)$，解得$a_{1}=22$，则剧场总共的座位数为$\frac{20(a_{1}+a_{20})}{2}=\frac{20\times(22 + 60)}{2}=820$.

　(5) 已知数列$\{ a_{n}\}$为等差数列，$a_{2}+a_{8}=8$，则$a_{1}+a_{5}+a_{9}=$____.

答案： 答案 12 解析 $a_{1}+a_{9}=a_{2}+a_{8}=2a_{5}=8$，则$a_{5}=4$，所以$a_{1}+a_{5}+a_{9}=3a_{5}=12$.