《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三个数$a,b,c$成等比数列的充要条件是$b^{2}=ac$. ( )
(2)数列$\{a_{n}\}$为等比数列，则$S_{4},S_{8}-S_{4},S_{12}-S_{8}$成等比数列. ( )
(3)满足$a_{n + 1}=qa_{n}(n\in\mathbf{N}^{*},q$为常数)的数列$\{a_{n}\}$为等比数列. ( )
(4)如果数列$\{a_{n}\}$为等比数列，则数列$\{\ln a_{n}\}$是等差数列. ( )

答案：
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×

2. 小题热身
(1)已知各项均为正数的等比数列$\{a_{n}\}$的前4项和为15，且$a_{5}=3a_{3}+4a_{1}$，则$a_{3}=$ ( )
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2

答案： C [设各项均为正数的等比数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$，则$\begin{cases}a_{1}+a_{1}q + a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}=15\\a_{1}q^{4}=3a_{1}q^{2}+4a_{1}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a_{1}=1\\q = 2\end{cases}$，所以$a_{3}=a_{1}q^{2}=4$. 故选 C.]

(2)若等比数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=3^{n}+b$，则$b=$ ( )
A. 3
B. 1
C. - 1
D. 0

答案： C [当$n = 1$时，$a_{1}=S_{1}=3 + b$，当$n\geqslant2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=(3^{n}+b)-(3^{n - 1}+b)=2\cdot3^{n - 1}$，当$b=-1$时，$a_{1}=2$适合$a_{n}=2\cdot3^{n - 1}$，$\{a_{n}\}$是等比数列. 当$b\neq - 1$时，$a_{1}$不适合$a_{n}=2\cdot3^{n - 1}$，$\{a_{n}\}$不是等比数列. 故选 C.]

(3)(人教A选择性必修第二册4.3.1练习T2改编)在等比数列$\{a_{n}\}$中，$a_{3}=2,a_{7}=8$，则$a_{5}=$ ( )
A. 5
B. $\pm5$
C. 4
D. $\pm4$

答案： C [$\because a_{5}^{2}=a_{3}a_{7}=2\times8 = 16$，$\therefore a_{5}=\pm4$. 又$a_{5}=a_{3}q^{2}＞0$，$\therefore a_{5}=4$. 故选 C.]

(4)(人教A选择性必修第二册4.3.2练习T4改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________.

答案： 答案 1,3,9 或 9,3,1
解析 设这三个数为$\frac{a}{q}$，$a$，$aq$，则$\begin{cases}a+\frac{a}{q}+aq = 13\\a\cdot\frac{a}{q}\cdot aq = 27\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 3\\q=\frac{1}{3}\end{cases}$或$\begin{cases}a = 3\\q = 3\end{cases}$，$\therefore$这三个数为 1,3,9 或 9,3,1.

例1　　(1)(2023·全国甲卷)设等比数列$\{ a_{n}\}$的各项均为正数，前$n$项和为$S_{n}$，若$a_{1}=1$，$S_{5}=5S_{3}-4$，则$S_{4}=$（ ）
A. $\frac{15}{8}$
B. $\frac{65}{8}$
C. 15
D. 40

答案： C [由题意知1+q+q²+q³+q⁴=5(1+q+q²)-4，即q³+q⁴=4q+4q²，即q(q - 2)(q + 1)(q + 2)=0. 由题意知q＞0，所以q=2，所以S₄=1+2+4+8=15. 故选C.]

(2)在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{3}=\frac{3}{2}$，$S_{3}=\frac{9}{2}$，则$a_{2}$的值为（ ）
A. $\frac{3}{2}$
B. -3
C. $-\frac{3}{2}$
D. -3或$\frac{3}{2}$

答案： D [由S₃=a₁+a₂+a₃=a₃(q⁻²+q⁻¹+1)，得q⁻²+q⁻¹+1=3，即2q² - q - 1=0，解得q=1或q=-$\frac{1}{2}$，所以a₂=$\frac{a₃}{q}$=$\frac{3}{2}$或 - 3. 故选D.]